如图所示,AP,CP是△ABC的两个外角的平分线

以PA为边长作等边△PAD,连结BD∵∠PAD＝60°＝∠BAC∴∠BAD＝∠PAC∵AD＝AP,AB＝AC∴△ABD≌△APC∴BD＝PC＝5∵PD＝PA＝3,PB＝4∴∠BPD＝90°∵∠APD＝

由题意得：CP：BP=1：1，CQ：AQ=1：2，连接CX，设三角形CPX的面积为1份，则根据燕尾定理得出：S△CPX：S△BPX=S△ACX：S△ABX=CP：BP=1：1，S△CQX：S△AQX=

从A做BC垂线,交BC于DAB²-AP²=AD²+BD²-（AD²+DP²）=BD²-DP²=（BD+DP）（BD-DP

作辅助线AD垂直BC于点D可知：BD=CDAB=AC勾股定理:AC^2=AD^2+CD^2(△ACD)AP^2=AD^2+PD^2(△ADP)用AD代入可得：AC^2=AP^2-PD^2+CD^2=A

根据两边之和大于第三边,所以AP+BP>ABBP+CP>BCAP+CP>AC加起来就行了~

证明：过点P作PM⊥AB于M,PN⊥AC于N,PG⊥BC于G∵PM⊥AB,PG⊥BC,BP平分∠CBD∴PM＝PG∵PN⊥AC,PG⊥BC,CP平分∠BCE∴PN＝PG∴PM＝PN∴AP平分∠BAC

证明：在△APD和△APE中因为AP平分∠MAC所以DP=EP,（角平分线的性质）同理PE=PF所以PD=PF所以P在∠MBN的角平分线上所以PB平方∠MBN

过P作PF⊥AC,交AC于F过P作PE⊥BC,交BC延长线于E过P作PG⊥AB,交AB延长线于G因为AP平分∠GAC,所以PG=PF(角平分线上的点到角两边距离相等)因为CP平分∠ACE所以PF=PE

分析与思路：要证BP=CP,就是要证∠CBP=∠BCP；要证∠CBP=∠BCP,就是要证,△ABC全等于△DCB,而这是已知条件,故BP=CP.另一方面,要证AP=DP,就是要证AC-CP=BD-BP

不知道你有没有学过中位线,以下是用中位线求解.作点H,使AH=HP.连MH.∵AM=MB,AH=HP∴在△ABP中MH为中位线∴MH‖BP且MH=1/2BP又∵MH‖PN且P为HC的中点∴PN为中位线

证明：在AB上截取AD=AC∵∠DAP=∠CAP,AP=AP,AD=AC∴△ADP≌△ACP∴CD=CP在△BDP中根据两边之差小于第三边BP-DP

延长AP交BC于点D（三角形两边之和大于第三边）∴AB＋BD＞AP＋PD①PD＋DC＞PC②①＋②：AB＋BD＋DC＋PD＞AP＋PC＋PD即AB＋BD＋DC＞AP＋PC∴AB＋BC＞AP＋PC∵CP

24

以C为旋转中心,将△CPA旋转90°,AC与BC边重合,连接DP,如图所示由题意可知：DC＝CP＝2,在Rt△CPD中,由勾股定理可得：DP＝2√2,∠PCD＝45°由题可知：在△BPD中,BP＝1,

延长CP交AB于E.∵∠CAP＝∠EAP、AP⊥CE,∴AC＝AE、CP＝EP,又CM＝BM,∴PM＝（1/2）BE,显然有：BE＝AB－AE＝AB－AC,∴PM＝（1/2）（AB－AC）.

根据三角形两边之和大于第三边定理可得AP+BP>ABBP+CP>BCCP+AP>AC所以2(AP+BP+CP)>AB+BC+CA即AP+BP+CP>0.5(AB+BC+CA).

证明：连接PM,PN,∵MN垂直平分AP,∴AM=MP,AN=PN,又MN为公共边,∴△AMN≌△PMN（SSS）,∴∠MPN=∠BAC=60°,∵∠BPM+∠CPN=120°,∠BPM+∠BMP=1

证明：连接AD在Rt△CDP中,CP²+DP²=CD²又D为BC中点∴BD=CD∴CP²+DP²=BD²在Rt△ABD中,AB²+

证明：作AD垂直于BC交BC于D,因AB+AC,则BD=CD且有AB^2-AD^2=BD^2AP^2-AD^2=PD^2二式相减,有AB^2-AP^2=BD^2-PD^2=（BD+PD）*（BD-PD

(1)在△ABC中AB=AC,P是BC边上的中点所以,△ABC是等腰三角形,AP垂直于BC所以三角形ABP是直角三角形,BP乘CP=BP²由勾股定理知,BP²=AB²-A