数列an有界,证明∑an²收敛-搜答案-搜搜考试网

利用单调有界数列必收敛先证单调性a(n+1)-an=√1+an-√1+a(n-1)=[an-a(n-1)]/[√1+an+√1+a(n-1)]这样就容易由数学归纳法证明数列是单调的a2=√2,所以a2

用单调有界是证不出来的,因为大部分情况下an/n不是单调的.随便举个例子：a（2n－1)=1,a(2n)=2,此时an/n就不单调.不用上下极限估计太难做了,你倒是可以用Cauchy收敛原理试试.再问

(1)liman=alim(an-a)=0∴an-a是无穷小数列必要性得证再答：(2)an-a是无穷小数列lim(an-a)=0liman=a充分性得证

先从1到N求和：∑n(an-an-1)=NaN-∑an-1这里求和都是从1开始到N再令N趋于无穷,前面的收敛,后面部分也收敛所以整体收敛

∑An-A（n-1）=limAn-A1,所以An极限存在,极限存在的数列必有界设|An|≤M,那么由∑Bn收敛,可以知道∑An*Bn绝对收敛,因此该级数必然收敛

证明：∑an^2收敛,所以,∑|an|收敛,所以,∑|an|/n收敛,所以,∑an/n绝对收敛.

你说的数列{An}应该默认是实数域R中的吧~这个定理其实就是Weirstrass-Bolzano定理：(无穷)有界数列必有收敛子列.Weirstrass-Bolzano定理证明方法有很多,区间套原理证

不妨设这个数单增,即a1=ank>ak所以数列ak是一个单增有上界的数列,所以收敛.进一步还可以说明ak→

那我就只说明收敛吧.证明：a1

nan《M,则an《m／n,（an）＾2《m＾2／n＾2,而级数1／n＾2收敛,故由大M判别法知原级数收敛.你懂得?

根据柯西收敛准则,只需证明|a(n+p)-an|

可以证明a_n一定收敛到0否则,存在e,对任意N,都存在n>N,使得a_n>e这时,n*a_n>n*e>N*e而N是任意的,所以{n*a_n}就不是有界的,矛盾!故a_n一定收敛到0

再问：可以告诉我图片在哪找的吗？|An|-a=|An-a||An-a|=||An|-|a||不懂、、再答：Mathtype自己编辑再问：对不起，智商不够用，An小于0是什么意思？再答：我是分情况讨论，

如果{an+bn}收敛因{an}也收敛对任何e都有N1,N2使k>N1就有|(ak+bk)-L|N2有|(ak)-A|N1,N2中较大者,有|bk-(L-A)|=|(ak+bk)-L+(ak-A)|无

an^2收敛说明,an^2有界,就是说存在M>0,使得an^2

在完成证明之前先引入一个结论：任一数列中都能取出一个单调子列.证：引入一个定义：如果数列中的一项大于在这个项之后的所有各项,则称这一项是一个“龙头”.下面分2种情况：情况1如果在数列中存在无穷多个“龙

利用收敛数列必有界.那么有界集合,必有上确界和下确界.收敛数列必有界的证明证明：若an→a,那么有对所有的e>0,存在自然数N,当n>N,时|an-a|N时a-e

设An={ai|i>=n},n=1,2,.An是有界集,所以存在上确界bn,下确界cn.且有：c1

按定义将∑n（an-an-1）展开,找到三个级数之间部分和的关系再答：再答：不用客气^_^