d dx上限x^3下线x^2,1 根号(1 t²)dt

∫(0→5)x³/(x²+1)dx=∫(0→5)[x(x²+1)-x]/(x²+1)dx=∫(0→5)xdx-∫(0→5)x/(x²+1)dx=∫(0

∫arccosxdx（上限是根号3/2下限是0）现在设arccosx=⊙那么x=cos⊙因为x上限是根号3/2下限是0所以⊙的范围是（六分之派到二分之派）那么∫arccosxdx=∫⊙dcos⊙（分步

由f(x)>0,原式等价于(∫{{0,1}t·f(t)²dt)·(∫{0,1}f(t)dt)≤(∫{{0,1}f(t)²dt)·(∫{0,1}t·f(t)dt).设F(x)=(∫{

∫Pdx+Qdy要证明此种积分与路径无关,只需证əQ/əx=əP/əy令P=x+y,Q=x-y,则əQ/əx=1=əP/ə

∫(0,1){√[1-(1-x)²]-x}dx的几何意义是：以1为半径的圆的四分之一面积,减去直角边长为1的直角等腰三角形的面积∵以1为半径的圆的四分之一面积=π/4直角边长为1的直角等腰三

：∫上限1下限0x(根号（1-x^2)dx=：-1/2*∫上限1下限0(根号（1-x^2)d（1-x^2)=-1/2*(上限1下限0)2/3*(1-x^2)^3/2=1/3.∫上线pi/2下线0cos

f(3x+1)=xe^(x/2)换元：t=3x+1,x=(t-1)/3f(x)=((x-1)/3)e^((x-1)/6)∫((x-1)/3)e^((x-1)/6)dx=∫((x-1)/3)e^((x-

F(x)=∫[0,x](x-2t)f(x)dt,所以F(-x)=∫[0,-x](-x-2t)f(-x)dt,由f是偶函数知f(-x)=f(x),所以F(-x)=∫[0,-x](-x-2t)f(x)dt

由积分中值定理：存在ξ（ξ在x和x+a之间）lim∫(上限为x+a,下线为x)tsin1/tdt=lima(ξ/sin(1/ξ))=alim(sin(1/ξ)/(1/ξ))(x趋近于无穷大,ξ趋近于无

令u=x2-t2，则当t=0时，u=x2；当t=x时，u=0．且du=-2tdt∴∫x0tf(x2−t2)dt=−12∫0x2f(u)du=12∫x20f(u)du∴ddx∫x0tf(x2−t2)dt

洛必达

积分区域由x²+y²=8,y²=2x,y=0围成.如图：原式=∫dx∫f(x,y)dy+∫dx∫f(x,y)dy

∫(0->π)x(e^sinx)|cosx|dx=∫(0->π/2)x(e^sinx)(cosx)dx-∫(π/2->π)x(e^sinx)(cosx)dxlety=π-xdy=-dxx=π/2,y=

∫（3^x+根号x）dx=∫3^xdx+∫(根号x)dx=∫d（3^x）/ln3+∫2/3dx^(3/2)=3^x/ln3+2/3x^(3/2)+C带入01得到原式=3/ln3+2/3×+C-1/ln

∫(1,2)x^(-3)dx=(-1/2)x^(-2)|(1,2)=(-1/2)[2^(-2)-1^(-2)]=(-1/2)(-3/4)=3/8

（1）原函数是F(x)=(lnx)²/2+C；所以,定积分=F(e)-F(1)=1/2-0=1/2；（2）即3x²-x-2的积分；原函数是F(x)=x³-x²/

积分:(1,2)(x+2)^2/根号xdx=积分:(1,2)(x^2+4x+4)/根号(x)dx=积分:(1,2)(x^(3/2)+4根号(x)+4*x^(-1/2))dx=2/5*x^(5/2)+8

∫[1-->3]√|x(x-2)|dx=∫[1-->2]√(x(2-x))dx+∫[2-->3]√(x(x-2))dx=∫[1-->2]√(2x-x^2)dx+∫[2-->3]√(x^2-2x)dx=

令F'(t/3)=f(t/3)原积分=F(x)-F(0)导数=F'(3*x/3)-F'(0)=3f(x)