m*n矩阵A的秩为r,证明存在一个m*r的矩阵P使得A=PQ-搜答案-搜搜考试网

充分性：因为,R(A)=m存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=【Em,0】设D=【Em,0】^T,则PAQD=Em,即AQDP=Em,令B=QDP即可得：AB=Em.充分性得证.必要性已知：

依题意r(A)=r

A为秩是r的m*n矩阵,所以A一定能够经过初等变换变为如下形式：100...0010...0001...0...000...0就是左上角有一个r阶单位阵,其余元素都为0.我们知道,做一次初等行变换就是

证明:由AB＝0得r(A)+r(B)=1所以r(A)

不知道条件中是否有n>=m,如果是n>=m则可知无论经过怎样化简,不会使得A的某一行或者某一列为0,类似方阵若A不为0,则肯定有逆矩阵,我想这里也是一样

提示：可逆矩阵可以看成若干初等矩阵的乘积.用等价矩阵秩相等去证.

...不知道还需要解答不?记B=A',就是要证明rank(B'B)=rankB.利用(1)维数定理m=rankB+dimKer(B)(2)Bx=0当且仅当B'Bx=0,所以Ker(B)=Ker(B'B

这是什么结论?A,B不同型,不能相加再问：那请问r(A)

因为A是m*n矩阵,则r(A)

题目有点小错误,B的阶数是mxr,否则不能随便乘取m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使得A=PDQ,其中D=I_r000取B为P的前r列,C为Q的前r行即可.

将A进行列分块为(a1,a2,a3,...ap),于是AB=b11a1+b21a2+...bp1ap+b12a1+b22a2+...+...+bpnap所以AB可以由A的p个向量组线性线性表示,即r(

因为AB=0r（A）+r（B）=1r（A）

充分性：若A＝ab^T,由于r(a)=r(b)=1,因此r(A)=1.综上,r(A)=1.必要性：若r(A)=1,则A的列向量组的秩是1,其极大无关组记为a,于是A的列都可以用a线性表出,即存在b1,

这个叫做矩阵的满秩分解,《矩阵论》上的定理.证明：A是m×n矩阵,R（A）＝r,则A一定能通过初等行列变换变成如下矩阵100...00010...00001...00...000...00就是左上角是

因为R(A)=r,所以可以用一系列的行初等变换把A化为行阶梯形B,即存在可逆阵P,使PA=B；B中只有r行含非零元素,B可以写成r个矩阵的和B=C1+C2+…+Cr,其中Ck（1≤k≤r）的第k行是B

证:对任一n维向量x≠0因为r(A)=n,所以Ax≠0--这是由于AX=0只有零解所以(Ax)'(Ax)>0.即有x'A'Ax>0所以A'A为正定矩阵.注:A'即A^T

取可逆阵X和Y使得A=X*diag{I_R,0}*Y然后P取成X的前R列,Q取成Y的前R列就行了再问：大神，本人愚钝，表示完全看不懂啊，可以说的详细一点吗。。再答：如果第一行不懂就去看教材,这是基本结

见下图：再问：AX=0.A后面的是X吗！？还有怎么C的秩就成了n-r了呢！不明觉厉！表示我高代很差，还劳烦大神讲解下再问：AX=0.A后面的是X吗！？还有怎么C的秩就成了n-r了呢！不明觉厉！表示我高

请参看李永乐线性代数讲义关于经典等式r(AB)=0等价于r(a)+r(b)

因为r(A)=m所以对任一n维列向量b,线性方程组Ax=b总是有解特别对n维基本向量ε1,ε2,...,εn,Ax=εi有解xi令B=(x1,x2,...,xn)则AB=(Ax1,Ax2,...,Ax