设数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/06 09:20:03

设数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=lna_3n+1，n=1，2…，求数列{b_n}的通项公式及前n项和T_n以及T_n的最小值．

设数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数

（Ⅰ）由已知得：

a1+a2+a3＝7

(a1+3)+(a3+4)
2＝3a2，解得a₂=2，
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得a1＝
2
q，a₃=2q，
又S₃=7，可知
2
q+2+2q＝7，即2q²-5q+2=0，
解得q₁=2，q2＝
1
2，
由题意得q＞1，∴q=2，
∴a₁=1，
故数列{a_n}的通项为an＝2n−1．
（Ⅱ）由于b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，
由（Ⅰ）得a3n+1＝23n，
∴bn＝ln23n＝3nln2，
又b_n+1-b_n=3ln2为常数，
∴{b_n}为等差数列，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=
n(b1+bn)
2=
n(3ln2+3nln2)
2=
3n(n+1)ln2
2，
故T_n=
3
2ln2[(n+
1
2)2−
1
4]，其中n≥1，n∈N．
∴当n=1时T_n取得最小值，T_n的最小值是3ln2．