矩阵QR分解唯一性问题

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/08 22:39:56

矩阵QR分解唯一性问题
任何矩阵（甚至非方阵）都能进行QR分解.我的问题是,这个QR分解的结果是唯一的吗?如果不唯一,不同的分解之间能有多大差别?

假定A是mxn的矩阵且列满秩,即rank(A)=n,那么A=QR在要求R的对角元为正实数的情况下是唯一的.
如果不要求R的对角元为正实数,那么可以有其它的QR分解A=(QD)(DR),其中D是任何对角酉阵,可以证明只有这些QR分解.
如果不是列满秩的话就没有上述唯一性了,除非对R的阶梯结构有额外要求.注意A的QR分解相当于对A的前k列张成的空间找正交基,从这里很容易理解什么时候会有唯一性.

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