高数不等式证明
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 08:22:28
高数不等式证明
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证:
1、设:f(x)=x-arctanx
f'(x)=1-1/(1+x²)
令:f'(x)>0,即:1-1/(1+x²)>0
1/(1+x²)<1
1+x²>1
x²>0
解得:x>0,
有:当x>0时,f(x)为单调增函数.
f(0)=0-arctan0=0
即:当x>0时,有f(x)>0.
故:x-arctanx>0
即:arctanx<x
2、设:f(x)=arctanx-x/(1+x²)
f'(x)=(arctanx)'-[x/(1+x²)]'
f'(x)=1/(1+x²)-(1+x²-2x²)/(1+x²)²
f'(x)=(1+x²-1-x²+2x²)/(1+x²)²
f'(x)=(2x²)/(1+x²)²
可见,当x>0时,恒有f'(x)>0
即:当x>0时,f(x)为单调增函数
f(0)=arctan0-0/(1+0²)=0
因此,当x>0时,有f(x)>0.
故:arctanx-x/(1+x²)>0
即:x/(1+x²)<arctanx
综上所述:当x>0时,有:x/(1+x²)<arctanx<x
命题成立.
证毕.
1、设:f(x)=x-arctanx
f'(x)=1-1/(1+x²)
令:f'(x)>0,即:1-1/(1+x²)>0
1/(1+x²)<1
1+x²>1
x²>0
解得:x>0,
有:当x>0时,f(x)为单调增函数.
f(0)=0-arctan0=0
即:当x>0时,有f(x)>0.
故:x-arctanx>0
即:arctanx<x
2、设:f(x)=arctanx-x/(1+x²)
f'(x)=(arctanx)'-[x/(1+x²)]'
f'(x)=1/(1+x²)-(1+x²-2x²)/(1+x²)²
f'(x)=(1+x²-1-x²+2x²)/(1+x²)²
f'(x)=(2x²)/(1+x²)²
可见,当x>0时,恒有f'(x)>0
即:当x>0时,f(x)为单调增函数
f(0)=arctan0-0/(1+0²)=0
因此,当x>0时,有f(x)>0.
故:arctanx-x/(1+x²)>0
即:x/(1+x²)<arctanx
综上所述:当x>0时,有:x/(1+x²)<arctanx<x
命题成立.
证毕.