高数不等式证明

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/19 08:22:28

高数不等式证明

证：
1、设：f(x)=x-arctanx
f'(x)=1-1/(1+x²)
令：f'(x)＞0,即：1-1/(1+x²)＞0
1/(1+x²)＜1
1+x²＞1
x²＞0
解得：x＞0,
有：当x＞0时,f(x)为单调增函数.
f(0)=0-arctan0=0
即：当x＞0时,有f(x)＞0.
故：x-arctanx＞0
即：arctanx＜x
2、设：f(x)=arctanx-x/(1+x²)
f'(x)=(arctanx)'-[x/(1+x²)]'
f'(x)=1/(1+x²)-(1+x²-2x²)/(1+x²)²
f'(x)=(1+x²-1-x²+2x²)/(1+x²)²
f'(x)=(2x²)/(1+x²)²
可见,当x＞0时,恒有f'(x)＞0
即：当x＞0时,f(x)为单调增函数
f(0)=arctan0-0/(1+0²)=0
因此,当x＞0时,有f(x)＞0.
故：arctanx-x/(1+x²)＞0
即：x/(1+x²)＜arctanx
综上所述：当x＞0时,有：x/(1+x²)＜arctanx＜x
命题成立.
证毕.

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