问一道圆锥曲线题?第12题,

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/14 10:35:49

问一道圆锥曲线题?

第12题,

第一个问题：
应补充说明双曲线的焦点位置,否则无法求出双曲线方程.从第二个问题的描述中可知,双曲线的焦点在x轴上.
∵a^2/c＝√5/5,∴a/e＝√5/5＝1/√5,又e＝√5,∴a＝1,∴而c/a＝e＝√5,∴c＝√5,
∴c^2＝5,∴a^2＋b^2＝5,∴b^2＝4.
∵双曲线的中心为原点,焦点在x轴上［补充条件］,
∴满足条件的双曲线方程是：x^2－y^2/4＝1.
第二个问题：
令双曲线x^2－y^2/4＝1的右焦点为F,显然F的坐标为（√5,0）.
容易知道点A（－√5,0）是双曲线x^2－y^2/4＝1的左焦点,
∴由双曲线定义,有：｜AM｜－｜MF｜＝2a＝2,∴｜AM｜＝2＋｜MF｜.
∴｜AM｜＋｜MB｜＝2＋｜MF｜＋｜MB｜.
∴要使（｜AM｜＋｜MB｜）最小,就需要（｜MF｜＋｜MB｜）最小.
显然有：｜MF｜＋｜MB｜≧｜BF｜.
∴当B、M、F共线时,｜MF｜＋｜MB｜有最小值,且最小值＝｜BF｜.
于是,问题就转化成在圆x^2＋（y－√5）^2＝1上求点B,使｜BF｜最小.
令圆x^2＋（y－√5）^2＝1的圆心为G,则点G的坐标为（0,√5）.
当点B为GF与⊙G的交点时,｜BF｜＝｜GF｜－｜GB｜＝｜GF｜－1.
在⊙G上取点B外的任意一点为C,则有：｜GC｜＋｜CF｜＞｜GF｜＝｜GB｜＋｜BF｜,
自然有：｜GC｜＝｜GB｜,∴｜CF｜＞｜BF｜,∴点B就是满足要求的点.
∵｜GF｜＝√［（0＋√5）^2＋（√5－0）^2］＝√10,∴｜BF｜＝√10－1.
∴（｜AM｜＋｜MB｜）的最小值为（√10－1）.
第三个问题：
GF的斜率＝（0－√5）/（√5－0）＝－1,∴GF的方程为：y＝－x＋√5.
联立：y＝－x＋√5、x^2－y^2/4＝1,消去y,得：x^2－（x－√5）^2/4＝1,
∴4x^2－（x^2－2√5x＋5）＝4,∴3x^2＋2√5x－9＝0,其判别式＝20＋4×3×9＝128,
∴x＝（－2√5＋8√2）/6,或x＝（－2√5－8√2）/6.
∵点M是线段GF与⊙G的交点,∴点M的横坐标大于0,
∴点M的横坐标＝（－2√5＋8√2）/6＝（4√2－√5）/3,
　点M的纵坐标＝－（4√2－√5）/3＋√5＝（4√5－4√2）/3.
∴点M的坐标是（（4√2－√5）/3,（4√5－4√2）/3）.

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