请教x的n次方-1的展开公式...具体请见图谢谢
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/12 15:09:53
请教x的n次方-1的展开公式...具体请见图谢谢
如图,求括号里的式子..
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/2c/d2c88a2f59c3b54b528b81479627bdb6.jpg)
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![请教x的n次方-1的展开公式...具体请见图谢谢](/uploads/image/z/15654438-54-8.jpg?t=%E8%AF%B7%E6%95%99x%E7%9A%84n%E6%AC%A1%E6%96%B9-1%E7%9A%84%E5%B1%95%E5%BC%80%E5%85%AC%E5%BC%8F...%E5%85%B7%E4%BD%93%E8%AF%B7%E8%A7%81%E5%9B%BE%E8%B0%A2%E8%B0%A2)
这是一条北大教授在调研各地中学生数学知识时出的问题,当时那位老教授问了一个班,可是整个班算了半天也没有做出来,答案可以猜出来,不过还是给你整个证明方法吧.
数学归纳法:
N=1 x-1=(x-1)(1)
N=2 x^2-1=(x-1)(x+1)
N=3 x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
...
现假设
N=n x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
求证
N=n+1 x^(n+1)-1=(x-1)[x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
下面证明
x^(n+1)-1=x(x^n-1)+x-1=x{(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]}+x-1
={(x-1)[x^n+x^(n-1)+...+x^2+x]}+(x-1)
=(x-1)[x^n+x^(n-1)+...+x^2+x+1]
所以得证,于是得
x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
现在知道了吗?
数学归纳法:
N=1 x-1=(x-1)(1)
N=2 x^2-1=(x-1)(x+1)
N=3 x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
...
现假设
N=n x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
求证
N=n+1 x^(n+1)-1=(x-1)[x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
下面证明
x^(n+1)-1=x(x^n-1)+x-1=x{(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]}+x-1
={(x-1)[x^n+x^(n-1)+...+x^2+x]}+(x-1)
=(x-1)[x^n+x^(n-1)+...+x^2+x+1]
所以得证,于是得
x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
现在知道了吗?
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