求微分方程 y''-2y'-3y=(2x+1)e^3x的通解

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/30 21:25:16

所给方程的齐次方程：
y''-2y'-3y=0
r^2-2r-3=0
r=3 or r=-1
于是对应的齐次方程通
Y=C1e^(3x)+C2e^(-x)
由于(2x+1)e^(3x)中,b=3是特征方程的的单根,所以应设
y*=x(b1x+b2)e^(3x) =（b1x^2+b2x)e^(3x)
y'=(2b1x+b2)e^(3x)+3(b1x^2+b2x)e^(3x)
=(3b1x^2+(2b1+3b2)x+b2)e^(3x)
y''=(6b1x+2b1+3b2)e^(3x)+3(3b1x^2+(2b1+3b2)x+b2)e^(3x)
=(9b1x^2+(12b1+9b2)x+2b1+6b2)e^(3x)
代入方程：y''-2y'-3y=(2x+1)e^3x
(9b1x^2+(12b1+9b2)x+2b1+6b2)-2(3b1x^2+(2b1+3b2)x+b2)-3(b1x^2+b2x)=(2x+1)
(9b1-6b1-3b1)x^2+(12b1+9b2-4b1-6b2-3b2)x+(2b1+6b2-2b2)=2x+1
(8b1+4b2)x+(2b1+4b2)=2x+1
8b1+4b2=2
2b1+4b2=1
b1=1/3 b2=1/12
因此一个特解为：y*=x(x/3+1/12)e^(3x)
于是通解为：
y=C1e^(3x)+C2e^(-x)+(x^2/3+1/12x)e^(3x)
再问：你那方程组解错了吧， 8b1+4b2=2 2b1+4b2=1 应该是b1=1/6,b2=1/6

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