(2014•海南模拟)“无字证明”(proofs without words),就是将数学命题用简单
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/07 13:03:57
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在左边的图中大矩形的面积S=(cosβ+cosα)(sinβ+sinα)
=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin(α+β)+sinβcosβ+sinαcosα.
用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S1 .
空白部分的面积等于4个直角三角形的面积,即2×(
1
2sinβcosβ+
1
2sinαcosα)=sinβcosβ+sinαcosα.
故阴影部分的面积 S1 =S-sinβcosβ+sinαcosα=sin(α+β).
而在右边的图中阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和,即S2=sinαcosβ+cosαsinβ.
在右边的图中大矩形的面积也等于S,S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积,
而2个空白矩形的面积之和,即sinβcosβ+sinαcosα,
故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积.
故左右图中阴影部分的面积也相等,即 S1 =S2 ,故有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
故答案为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin(α+β)+sinβcosβ+sinαcosα.
用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S1 .
空白部分的面积等于4个直角三角形的面积,即2×(
1
2sinβcosβ+
1
2sinαcosα)=sinβcosβ+sinαcosα.
故阴影部分的面积 S1 =S-sinβcosβ+sinαcosα=sin(α+β).
而在右边的图中阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和,即S2=sinαcosβ+cosαsinβ.
在右边的图中大矩形的面积也等于S,S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积,
而2个空白矩形的面积之和,即sinβcosβ+sinαcosα,
故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积.
故左右图中阴影部分的面积也相等,即 S1 =S2 ,故有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
故答案为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.