已知f(x)是定义在R上的增函数,对x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=f(x)+1f(x)
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/28 23:27:42
已知f(x)是定义在R上的增函数,对x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=f(x)+
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f(x) |
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在R上任取x1、x2,设x1<x2,
∴f(x2)>f(x1),
F(x2)−F(x2)=[f(x2)+
1
f(x2)]−[f(x1)+
1
f(x1)]
=[f(x2) −f(x1) ][1−
1
f(x1) f(x2)]
∵f(x)是R上的增函数,且f(5)=1,
∴当x<5时0<f(x)<1,而当x>5时f(x)>1;
①若x1<x2<5,则0<f(x1)<f(x2)<1,
∴1−
1
f(x1) f(x2)<0,
∴F(x2)<F(x1);
②若x2>x1>5,则f(x2)>f(x1)>1,
∴f(x1)f(x2)>1
∴1−
1
f(x1)f(x2) >0
∴F(x2)>F(x1)
综上,F(x)在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数
∴f(x2)>f(x1),
F(x2)−F(x2)=[f(x2)+
1
f(x2)]−[f(x1)+
1
f(x1)]
=[f(x2) −f(x1) ][1−
1
f(x1) f(x2)]
∵f(x)是R上的增函数,且f(5)=1,
∴当x<5时0<f(x)<1,而当x>5时f(x)>1;
①若x1<x2<5,则0<f(x1)<f(x2)<1,
∴1−
1
f(x1) f(x2)<0,
∴F(x2)<F(x1);
②若x2>x1>5,则f(x2)>f(x1)>1,
∴f(x1)f(x2)>1
∴1−
1
f(x1)f(x2) >0
∴F(x2)>F(x1)
综上,F(x)在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数
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