数论关于同余的题目（iii）的前提是如果n是素数证明这条结论还有 2.里的推到还有这题,证明无法.

数论关于同余的题目
（iii）的前提是如果n是素数证明这条结论还有 2.里的推到

还有这题,证明无法.

n如果是素数的话直接取k = 1就行,n | (n-1)!+1是Wilson定理.
证明可以用配对:由n是素数,mod n的既约剩余系为1,2,...,n-1.
任意x = 1,2,...,n-1,存在唯一的即约剩余类y使xy = 1 (mod n).
由此将1,2,...,n-1两两配对,其中1和n-1分别与自身配对,剩下的两两相乘 = 1 (mod n).
于是(n-1)!= 1·(n-1) = -1 (mod n),即n | (n-1)!+1.
2.(i) 在mod p意义下,有等式:
2 = -(p-2),
4 = -(p-4),
...
p-1 = -1.
相乘得(p-1)!= (-1)^((p-1)/2)·(p-2)!(mod p).
两边乘(p-1)!即得((p-1)!)² = (-1)^((p-1)/2)·(p-1)!= (-1)^((p+1)/2) (mod p) (用到Wilson定理).
(ii) 从(i)的结论中提出因子2得2^(p-1)·(((p-1)/2)!)² = (-1)^((p+1)/2) (mod p).
p是奇素数,由Fermat小定理,2^(p-1) = 1 (mod p),即得结论.
(iii) 已在(i)中证明.
4.既然做这个题应该知道中国剩余定理.
考虑同余方程组x = -i (mod a_i),i = 1,2,...,k.
由a_1,a_2,...,a_k两两互素,根据中国剩余定理,上述方程组有解.
若b为解,则a_i | b+i,i = 1,2,...,k.即b+1,b+2,...,b+k满足要求.
再问： 第一个为什么素数的话直接取k = 1就行？k=1知道，就是证不来题目的那个 还有a=b(mod m),c=d(mod m) 可以做乘法ac=bd(mod m)有条件吗？
再答： 第一题不是要证明存在k吗? 只要找到一个就好. 我又想了一下, 题目的叙述可能没有表明原意. 应该是对任意正整数k ≤ n都成立. 证明就在Wilson定理的基础上稍加改动. 在mod n意义下有等式: 1 = -(n-1), 2 = -(n-2), ... k-1 = -(n-k+1). 相乘得(k-1)! = (-1)^(k-1)·(n-1)!/(n-k)! (mod n). 于是(k-1)!(n-k)! = (-1)^(k-1)·(n-1)! = -(-1)^(k-1) (mod n). 即n | (k-1)!(n-k)!+(-1)^(k-1). 由a = b (mod m), c = d (mod m)可以推出ac = bd (mod m). 这是基本性质, 不需要其他条件. 由m | a-b得m | (a-b)c = ac-bc, 于是ac = bc (mod m). 再由m | c-d得m | (c-d)b = bc-bd, 于是bc = bd (mod m). 因此ac = bd (mod m).