搜搜考试网求高二不等式证明所有题型和解析!
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/01 03:34:54
求高二不等式证明所有题型和解析!
我学不等式证明很有问题
我学不等式证明很有问题
例1 已知a,b,c∈R+,证明不等式：
当且仅当a=b=c时取等号.
解 用综合法.因a＞0,b＞0,c＞0,故有
三式分边相加,得
当且仅当a=b=c时取等号.
例2 设t＞0.证明：对任意自然数n,不等式
tn-nt+(n-1)≥0
都成立,并说明在什么条件下等号成立.
解 当n=1时,不等式显然成立,且取等号.
当n≥2时,由幂分拆不等式,可得以下n-1个不等式：
t2+1≥t+t,t3+1≥t2+t,…,
tn-1+1≥tn-2+t,tn+1≥tn-1+t
以上各式当且仅当t=1时取等号.把它们分边相加,得
故对任意n∈N,不等式获证.等号成立的条件是n=1,或t=1.
注 ①在以上不等中令t=1+x(x＞-1),即得著名的贝努利不等式(1+x)n≥1+nx
例3 设a,b,c都是正数,证明不等式
当且仅当a=b=c时取等号.
分析 本例有多种精彩证法.根据对称性,可从左边一项、两项入手,当然也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手.
解 [法一] 从一项入手,适当配凑后由平均值不等式知
三式分边相加,即得
时,上式取等号.
[法二] 从两入手,利用幂分拆不等式,有
同理有
三式分边相加,得
[法三] 从整理入手,原不等式等价于
进一步证明参考习题5-2-7(1)解答.
[法四] 由平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x,y,∈R+)的变式
三式分边相加,得
所以
注 从证法4我们看到,利用平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x,
式不等式,思路自然,简捷明快,颇具特色.
例4 已知关于x的实系数方程x2+px+q=0有两个实数根α,β.证明：若|α|＜2,|β|＜2,则|q|＜4,且2|p|＞4+q.
解 先证|q|＜4,由韦达定理知
|q|=|αβ|=|α|·|β|＜2×2=4
再证2|p|＞4+q.
欲证不等式即0≤2|α+β|＜4+αβ.故只须证
4(α+β)2＜(4+αβ)2
即 4α+8αβ+4β2＜16+8αβ+α2β2
从而只须证
16-4α2-4β2+α2β2＞0
即 (4-α2)(4-β2)＞0
由|α|＜2,|β|＜2,知α2＜4,β2＜4,故最后不等式成立,从而原不等式得证.
例5 证明：若a,b,c是三角形的三边,则
3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca)
当且仅当三角形为正三角形时,左边取等号.
解 左边不等式等价于
3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
欲证此不等式成立,只须证
ab+bc+ca≤a2+b2+c2
即证
2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0
左边配方即为
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0
此不等式显然成立,当且仅当a=b=c,即三角形为正三角形时取等号.故左边不等式获证.
欲证右边不等式,仿上只须证
a2+b2+c2＜2(ab+bc+ca)
从而只须证
(ab+ac-a2)+(ab+bc-b2)+(bc+ca-c2)＞0
即证
a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)＞0
由于a,b,c是三角形的三边,此不等式显然成立,故右边不等式获证.
综上所述,原不等式得证.
例6 设f(x)=x2+px+q(p,q∈R),证明：
(2)若|p|+|q|＜1,则f(x)=0的两个根的绝对值都小于1.
解 用反证法
但是,
|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)-2f(2)+f(3)
=(1+p+q)-2×(4+2p+q)+(9+3p+q)=2 (ii)
(i)与(ii)矛盾,故假设不成立,即原命题成立.
(2)假设f(x)=0的两根x1,x2的绝对值不都小于1,不妨设|x1|≥1,那么由韦达定理,有
|p|=|-(x1+x2)|=|x1+x2|≥|x1|-|x2|≥1-|x2|
|q|=|x1x2|=|x1|·|x2|≥|x2|
两式分边相加,得
|p|+|q|≥1
这与题设矛盾,故假设不成立,即原命题得证.
注 反证法的逻辑程序是：否定结论→推出矛盾→肯定结论.反证法常用于直接证明难于入手的命题,或结论中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之类的存在性命题.
不等式证明知识概要
河北/赵春祥
不等式的证明问题,由于题型多变、方法多样、技巧性强,加上无固定的规律可循,往往不是用一种方法就能解决的,它是多种方法的灵活运用,也是各种思想方法的集中体现,因此难度较大.解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式,灵活运用常用的证明方法.
一、要点精析
1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.
(2)商值比较法的理论依据是：“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法.
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB,即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B.
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA,书写的模式是：为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.
4.反证法有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法.
5.换元法换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题,实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1,可设x=cosθ,y=sinθ；②若x2+y2≤1,可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式,由于|x|≤1,可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知,可设x=taaA,y=tanB,z=tanC,其中A+B+C=π.(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式,考虑用增量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简.如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元.
6.放缩法放缩法是要证明不等式A
当且仅当a=b=c时取等号.
解 用综合法.因a＞0,b＞0,c＞0,故有
三式分边相加,得
当且仅当a=b=c时取等号.
例2 设t＞0.证明：对任意自然数n,不等式
tn-nt+(n-1)≥0
都成立,并说明在什么条件下等号成立.
解 当n=1时,不等式显然成立,且取等号.
当n≥2时,由幂分拆不等式,可得以下n-1个不等式：
t2+1≥t+t,t3+1≥t2+t,…,
tn-1+1≥tn-2+t,tn+1≥tn-1+t
以上各式当且仅当t=1时取等号.把它们分边相加,得
故对任意n∈N,不等式获证.等号成立的条件是n=1,或t=1.
注 ①在以上不等中令t=1+x(x＞-1),即得著名的贝努利不等式(1+x)n≥1+nx
例3 设a,b,c都是正数,证明不等式
当且仅当a=b=c时取等号.
分析 本例有多种精彩证法.根据对称性,可从左边一项、两项入手,当然也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手.
解 [法一] 从一项入手,适当配凑后由平均值不等式知
三式分边相加,即得
时,上式取等号.
[法二] 从两入手,利用幂分拆不等式,有
同理有
三式分边相加,得
[法三] 从整理入手,原不等式等价于
进一步证明参考习题5-2-7(1)解答.
[法四] 由平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x,y,∈R+)的变式
三式分边相加,得
所以
注 从证法4我们看到,利用平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x,
式不等式,思路自然,简捷明快,颇具特色.
例4 已知关于x的实系数方程x2+px+q=0有两个实数根α,β.证明：若|α|＜2,|β|＜2,则|q|＜4,且2|p|＞4+q.
解 先证|q|＜4,由韦达定理知
|q|=|αβ|=|α|·|β|＜2×2=4
再证2|p|＞4+q.
欲证不等式即0≤2|α+β|＜4+αβ.故只须证
4(α+β)2＜(4+αβ)2
即 4α+8αβ+4β2＜16+8αβ+α2β2
从而只须证
16-4α2-4β2+α2β2＞0
即 (4-α2)(4-β2)＞0
由|α|＜2,|β|＜2,知α2＜4,β2＜4,故最后不等式成立,从而原不等式得证.
例5 证明：若a,b,c是三角形的三边,则
3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca)
当且仅当三角形为正三角形时,左边取等号.
解 左边不等式等价于
3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
欲证此不等式成立,只须证
ab+bc+ca≤a2+b2+c2
即证
2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0
左边配方即为
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0
此不等式显然成立,当且仅当a=b=c,即三角形为正三角形时取等号.故左边不等式获证.
欲证右边不等式,仿上只须证
a2+b2+c2＜2(ab+bc+ca)
从而只须证
(ab+ac-a2)+(ab+bc-b2)+(bc+ca-c2)＞0
即证
a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)＞0
由于a,b,c是三角形的三边,此不等式显然成立,故右边不等式获证.
综上所述,原不等式得证.
例6 设f(x)=x2+px+q(p,q∈R),证明：
(2)若|p|+|q|＜1,则f(x)=0的两个根的绝对值都小于1.
解 用反证法
但是,
|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)-2f(2)+f(3)
=(1+p+q)-2×(4+2p+q)+(9+3p+q)=2 (ii)
(i)与(ii)矛盾,故假设不成立,即原命题成立.
(2)假设f(x)=0的两根x1,x2的绝对值不都小于1,不妨设|x1|≥1,那么由韦达定理,有
|p|=|-(x1+x2)|=|x1+x2|≥|x1|-|x2|≥1-|x2|
|q|=|x1x2|=|x1|·|x2|≥|x2|
两式分边相加,得
|p|+|q|≥1
这与题设矛盾,故假设不成立,即原命题得证.
注 反证法的逻辑程序是：否定结论→推出矛盾→肯定结论.反证法常用于直接证明难于入手的命题,或结论中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之类的存在性命题.
不等式证明知识概要
河北/赵春祥
不等式的证明问题,由于题型多变、方法多样、技巧性强,加上无固定的规律可循,往往不是用一种方法就能解决的,它是多种方法的灵活运用,也是各种思想方法的集中体现,因此难度较大.解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式,灵活运用常用的证明方法.
一、要点精析
1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.
(2)商值比较法的理论依据是：“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法.
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB,即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B.
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA,书写的模式是：为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.
4.反证法有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法.
5.换元法换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题,实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1,可设x=cosθ,y=sinθ；②若x2+y2≤1,可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式,由于|x|≤1,可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知,可设x=taaA,y=tanB,z=tanC,其中A+B+C=π.(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式,考虑用增量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简.如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元.
6.放缩法放缩法是要证明不等式A