已知圆C过点(-4,0)和(4,0),且被直线l:x+y=4截得的弦长为4根号2,

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/30 23:52:43

已知圆C过点(-4,0)和(4,0),且被直线l:x+y=4截得的弦长为4根号2,
(1)求圆C的方程
（2）当点F(0,2)在圆C的内部时,过点F作直线l1交圆C与A,B两点,交X轴于点M,
若MA=λ1A1F,MB=λ2BF求证λ1+λ2为定值（MA,AF,MB,BF为向量）

(1)∵圆C过点(-4,0)和(4,0)
∴圆心C在(-4,0)和(4,0)的中垂线上,即y轴上
设圆心C坐标为(0,a)
则半径的平方为：r²=(0-4)²+(a-0)²=a²+16
而圆心C的直线x+y-4=0的距离d=|0+a-4|/√(1²+1²)=|a-4|/√2
r²=d²+(2√2)²=(a-4)²/2+8=a²/2-4a+16
即a²/2-4a+16=a²+16
a²/2+4a=0
a²+8a=0
a(a+8)=0
a=0 或 a=-8
若a=0,则r²=16,圆C的方程为：x²+y²=16
若a=-8,则r²=80,圆C的方程为：x²+(y+8)²=80

(2)∵点F(0,2)在圆C的内部
而0²+2²=480
∴此时圆C的方程是：x²+y²=16
分类讨论：
①直线l1斜率不存在,即x=0交圆于点A(0,4)和点B(0,-4),交x轴于点M(0,0)
向量MA=(0,4),向量MB=(0,-4),向量AF=(0,-2),向量BF=(0,6)
则MA=-2AF,MB=(-2/3)BF
即λ1=-2,λ2=-2/3
λ1+λ2=-2-2/3=-8/3
②直线l1斜率存在,设直线方程为：y=kx+2
设点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),点M坐标为(-2/k,0)
向量MA=(x1+2/k,y1),向量MB=(x2+2/k,y2)
向量AF=(-x1,2-y1) ,向量BF=(-x2,2-y2)
∵MA=λ1AF,MB=λ2BF
即x1+2/k=λ1(-x1)
x2+2/k=λ2(-x2)
λ1=(x1+2/k)/(-x1)=-1-2/(kx1)
λ2=(x2+2/k)/(-x2)=-1-2/(kx2)
联立y=kx+2与x²+y²=16
x²+(kx+2)²=16
(k²+1)x²+4kx-12=0
x1,x2是方程的2个根,根据韦达定理：
x1+x2=-4k/(k²+1) x1·x2=-12/(k²+1)
则λ1+λ2
=-1-2/(kx1)-1-2/(kx2)
=-2-2(x2+x1)/(kx1x2)
=-2-2[-4k/(k²+1)]/[-12k/(k²+1)]
=-2-8/12
=-2-2/3
=-8/3
∴λ1+λ2为定值-8/3

已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.若直线l过点p且被圆C截得的线段长为4根号3 已知直线L过点P(2,1),且被两条平行直线L1:4X+3Y+1=0 和L2 :4X+3Y+6=0 所截得的线段长为根号直线l过点P(0,1)且被两条平行线3x-4y-8=0和3x-4y+7=0所截得得弦长为 3根号2 求直线的方程已知圆方程为X^2+Y^2-8X=0,若过点（2,6）的直线l被圆所截得的弦长为4根号3,求直线l的方程已知圆C过点（1,0）,且圆心在X轴的负半轴上,直线L：Y=X-1被该圆所截得弦长为 2倍根号2,则圆C的方程为已知圆C过点 (1,0) ,且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x+1被圆所截得的弦长为2根号2,求圆C的标准方程. 被直线L1:4X+8Y+18=0和L2:2X+4Y-1=0截得的线段长为根号10,且过点A（4,18）的直线L的方程已知直线l经过点P(2,3),且被两平行直线l1:3x+4y=7和l2:3x+4y+3=0截得的线段之长为根号5,求直线已知点P(0,5)及圆C:x*2+y*2+4x-12y+24=0,若直线L过点P且被圆C截得的线段长为4倍根号3,求L的已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0，若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程．直线l过点(5,5)且和圆X^2+Y^2=25相交截得弦长4根号5 求l的方程在平面直角坐标系xoy中,已知圆C:(x+3)2+(y-1)2=4,直线L过点A(4,0),且被圆C截得弦为2根号3,求