一道高中平面几何竞赛题
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/28 08:08:23
一道高中平面几何竞赛题
已知圆O与圆O1内切于点S,圆O1的弦AB与圆O切于点T,P为直线AO上一点.求证:PB垂直于AB的充要条件是PS垂直于TS.
已知圆O与圆O1内切于点S,圆O1的弦AB与圆O切于点T,P为直线AO上一点.求证:PB垂直于AB的充要条件是PS垂直于TS.
![一道高中平面几何竞赛题](/uploads/image/z/16165289-65-9.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E9%AB%98%E4%B8%AD%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%A0%E4%BD%95%E7%AB%9E%E8%B5%9B%E9%A2%98)
过T作TC垂直于AO交于C
下面证明SCTB四点共圆
连结TO和CS
在RT三角形TOA中,TC垂直于OA
所以OC*OA=OT^2=OS^2
所以三角形COS相似于SOA
所以角OCS=角OSA
作两圆的公切线SW,W在S靠近A的一侧
这样角ASW=角ABS(弦切角)
所以角OSA=90-角ASW=90-角ABS
所以角OCS=90-角ABS
又角OCS=角TCS-90
由上面两式得到:角TCS+角ABS=180所以SCTB共圆
然后就简单了 P在OA上,BP垂直于BA 等价于 PBTC共圆
等价于 PBTCS共圆 等价于 PTCS共圆
等价于 PS垂直于TS
证毕
有什么问题可以提问~
再问: 大神,我在做这道题的时候只想到了去用同一法,结果失败了。。
我的QQ号就是505110225 大神能否加我 这样我以后有问题还想请教一下。
目前本人还在准备高中联赛 希望能得指点一二。。
下面证明SCTB四点共圆
连结TO和CS
在RT三角形TOA中,TC垂直于OA
所以OC*OA=OT^2=OS^2
所以三角形COS相似于SOA
所以角OCS=角OSA
作两圆的公切线SW,W在S靠近A的一侧
这样角ASW=角ABS(弦切角)
所以角OSA=90-角ASW=90-角ABS
所以角OCS=90-角ABS
又角OCS=角TCS-90
由上面两式得到:角TCS+角ABS=180所以SCTB共圆
然后就简单了 P在OA上,BP垂直于BA 等价于 PBTC共圆
等价于 PBTCS共圆 等价于 PTCS共圆
等价于 PS垂直于TS
证毕
有什么问题可以提问~
再问: 大神,我在做这道题的时候只想到了去用同一法,结果失败了。。
我的QQ号就是505110225 大神能否加我 这样我以后有问题还想请教一下。
目前本人还在准备高中联赛 希望能得指点一二。。