（2014•抚州模拟）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/08/19 15:39:44

（2014•抚州模拟）在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A₁C₁
与B₁D₁交点，已知AA₁=AB=1，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：A₁C₁⊥平面B₁BDD₁；
（Ⅱ）求证：AO∥平面BC₁D；
（Ⅲ）设点M在△BC₁D内（含边界），且OM⊥B₁D₁，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．

（2014•抚州模拟）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1

（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，
所以BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁．
又A₁C₁⊂底面A₁B₁C₁D₁，
所以BB₁⊥A₁C₁．
因为A₁B₁C₁D₁为菱形，
所以A₁C₁⊥B₁D₁．而BB₁∩B₁D₁=B₁，
所以A₁C₁⊥平面B₁BDD₁．
（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C₁E．
依题意，AA₁∥CC₁，
且AA₁=CC₁，AA₁⊥AC，
所以A₁ACC₁为矩形．
所以OC₁∥AE．
又OC1＝
1
2A1C1，AE＝
1
2AC，A₁C₁=AC，
所以OC₁=AE，所以AOC₁E为平行四边形，
则AO∥C₁E．
又AO⊄平面BC₁D，C₁E⊂平面BC₁D，
所以AO∥平面BC₁D．
（Ⅲ）在△BC₁D内，满足OM⊥B₁D₁的点M的轨迹是线段C₁E，包括端点．
分析如下：连接OE，则BD⊥OE．
由于BD∥B₁D₁，故欲使OM⊥B₁D₁，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．
又在△BC₁D中，C₁D=C₁B，又E为BD中点，所以BD⊥C₁E．
故M点一定在线段C₁E上．
当OM⊥C₁E时，OM取最小值．
在直角三角形OC₁E中，OE=1，OC1＝

3
2，C1E＝

7
2，
所以OMmin＝
OC1•OE
C1E＝

21
7．