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设G是三角形ABC的重心,且56sinA乘向量GA+40sinB乘向量GB+35sinC乘向量GC=0向量,求角B=?

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 22:44:19
设G是三角形ABC的重心,且56sinA乘向量GA+40sinB乘向量GB+35sinC乘向量GC=0向量,求角B=?
设G是三角形ABC的重心,且56sinA乘向量GA+40sinB乘向量GB+35sinC乘向量GC=0向量,求角B=?
设△ABC的外接圆半径为R,对应边长为a,b,c.
因为:56sinAGA+40sinBGB+35sinCGC=0
所以:56aGA+40bGB+35cGC=0.
又由重心的性质和向量加法法则:3GA=BA+CA,3GB=CB+AB,3GC=AC+BC.
代入上式得:56a(BA+CA)+40b(AB+CB)+35c(AC+BC)=0.
又CA=CB+BA,上式化为:56a(BA+CB+BA)+40b(AB+CB)+35c(-CB-BA+BC)=0,
整理得 56a(2BA+CB)+40b(AB+CB)+35c(-BA+2BC)=0.
按BA,BC整理:(112a-40b-35c)BA+(-56a-40b+70c)BC=0
由于BA,BC均为非零向量,且不共线,故上式当且仅当其系数均为零时成立.即
112a-40b-35c=0,-56a-40b+70c=0.
==> b=7a/5,c=8a/5.
由余弦定理:cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/2,
==> 角B=60°.