谁能帮我解决一道超难的中学平面几何题,
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/28 04:36:13
谁能帮我解决一道超难的中学平面几何题,
以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别相交于点D和E.过点D、E作BC的垂线,垂足分别是F,G,线段DG、EF交于点M.
求证,AM⊥BC
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/c5/6c5775770a2292218d3faa2fc620bca7.jpg)
以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别相交于点D和E.过点D、E作BC的垂线,垂足分别是F,G,线段DG、EF交于点M.
求证,AM⊥BC
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![谁能帮我解决一道超难的中学平面几何题,](/uploads/image/z/16513802-26-2.jpg?t=%E8%B0%81%E8%83%BD%E5%B8%AE%E6%88%91%E8%A7%A3%E5%86%B3%E4%B8%80%E9%81%93%E8%B6%85%E9%9A%BE%E7%9A%84%E4%B8%AD%E5%AD%A6%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%A0%E4%BD%95%E9%A2%98%2C)
设AM与BC交于点M,连接BE,CD.有角BEC=角BDC=90,直线FME与三角形AHC相截,直线GMD与三角形ABH相截,由梅涅劳斯定理得(AM/MH)(HF/FC)(CE/EA)=1,(AM/MH)(HG/GB)(BD/DA)=1,所以联立得FH/HG=CF*AE*BD/(CE*BG*AD),在直角三角形DBC与直角三角形EBC中用射影定理有:CD^2=BC*FC,BE^2=BC*BG,所以CF/BG=CD^2/BE^2,将此式代入原比例式得FH/HG=CD^2*AE*BD/(BE^2*CE*AD),又因为三角形ABE相似与三角形ACD,所以CD/DE=AD/AE在把这个式子代入上一个比例式中的FH/HG=CD*BD/(BE*CE)=面积DBC/面积EBC=DF/EG=DM/MG,所以MH//DF,又因为DF垂直于BC,所以MH垂直于BC,所以AM垂直于BC,得证……呼打得累死我了,*表示相乘,^2表示平方,完了!