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如图，四面体ABCD的各个面都是直角三角形，已知AB⊥BC，BC⊥CD，AB=a，BC=a，CD=c．

来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/07/29 17:01:06
如图，四面体ABCD的各个面都是直角三角形，已知AB⊥BC，BC⊥CD，AB=a，BC=a，CD=c．
（1）若AC⊥CD，求证：AB⊥BD；
（2）求四面体ABCD的表面积．
如图，四面体ABCD的各个面都是直角三角形，已知AB⊥BC，BC⊥CD，AB=a，BC=a，CD=c．
（1）因为AC⊥CD，BC⊥CD，
所以CD⊥平面ABC，
又因为CD⊂平面BCD，
所以平面ABC⊥平面BCD，
因为AB⊥BC，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以AB⊥平面BCD，
所以AB⊥BD．
（2）当AC⊥CD时，则AB⊥BD，
因为AB=a，BC=b，CD=c，
所以BD=
b2+c2，AC=
a2+b2，
所以四面体ABCD的表面积S=
1
2ab+
1
2bc+
1
2a
b2+c2+
1
2c
a2+b2．
当AC与CD不垂直时，则AD⊥CD，否则由（1）知AB⊥BD，可得AC⊥CD（矛盾），
当AD⊥AC时，AB与AD不能垂直，否则AD⊥平面ABC，
所以BC⊥AD，
因为BC⊥CD，BC⊥平面ACD，
所以BC⊥AC，这与AB⊥BC矛盾，
所以BD⊥AD，从而可得：AD2=a2-b2-c2，…①
由AD⊥AC得，AD2=c2-b2-a2…②
由①②可得：a=c，所以AD2=-b2＜0矛盾．
所以AD⊥CD，从而得到AB⊥AD，
当AD⊥CD时，AD2=a2+b2-c2，
当AB⊥AD时，AD2=b2+c2-a2，
所以a=c，AD=b，此时四面体的各个面是全等的三角形，变形成为一平面图形，所以舍去．
所以其表面积为S=
1
2ab+
1
2bc+
1
2a
b2+c2+
1
2c
a2+b2．…12（分）
已知四面体abcd,ab=cd,ac=bd,ad=bc 证明四个面都是锐角三角形 如图,已知梯形ABCD中,AB//CD,AD⊥CD.若腰BC=15,对角线AC=20,且AC⊥BC,求:(1)AB,A 在四面体ABCD中,AB,BC,CD俩俩互相垂直,且BC=CD.1.求证：平面ACD垂直于平面ABC.2.求二面角C-A 在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC=CD=1． 四面体ABCD,AB=CD,AC=BD,AD=BC(1)求证:这个四面体的四个面都是锐角三角形(2)设底面为BCD,另外 证明是锐角三角形~四面体ABCD,AB=CD ,AC=BD,AD=BC(1) 求证 这个四面体的四个面都是锐角三角形. 已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积． 已知线段AB⊥面a，BC⊂a，CD⊥BC，DF⊥面a于点F，∠DCF=30°，且D，A在平面a的同侧，若AB=BC=CD 在四面体ABCD中,面ABC垂直面ACD,AB垂直BC,AC=AD=2,BC=CD=1,求四面体ABCD的体积 在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,AB⊥BC,AC=AD=2,BC=CD=1 求四面体ABCD的体积 已知如图AB=CD,AD=BC求证∠A等于∠C 如图,已知AB平行CD,AD平行BC,说明角A=角C.