（2006•南京二模）已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/05 10:23:46

（2006•南京二模）已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD的射影是O．
（Ⅰ）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点E，F分别在棱上AA₁，BC上，且AE=2EA₁，问点F在何处时，EF⊥AD；
（Ⅲ）若∠A₁AB=60°，求二面角C-AA₁-B的大小（用反三角函数表示）．

（2006•南京二模）已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底

（Ⅰ）连AC，BD，A₁C₁，则O为AC，BD的交点，
O₁为A₁C₁，B₁D₁的交点．
由平行六面体的性质知：A₁O₁||OC且A₁O₁=OC
∴四边形A₁OCO₁为平行四边形，A₁O||O₁C
又∵A₁O⊥平面ABCD∴O₁C⊥平面ABCD
又∵O₁C⊂平面O₁DC∴平面O₁DC⊥平面ABCD
（Ⅱ）作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则EH||A₁O，点H在直线AC上，
且EF在平面ABCD上的射影为HF．
由三垂线定理及其逆定理，知EF⊥AD⇔FH||AB∵AE=2EA₁，∴AH=2HO，从而CH=2AH．又∵HF||AB，∴CF=2BF
从而EF⊥AD⇔CF=2BF∴当F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD
（III）过点O作OM⊥AA₁，垂足为M，连接BM．∵A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥OB
又∵OB⊥OA∴OB⊥平面A₁AO．由三垂线定理得AA₁⊥MB∴∠OMB为二面角C-AA₁-B的平面角．
在Rt△AMB中，∠MAB=60°，∴MB=

3
2AB
又∵BO=

2
2AB，∴sin∠OMB=

6
3∴∠OMB=arcsin

6
3
二面角C-AA₁-B的大小为arcsin

6
3

边长已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面的为a的正方形,侧棱AA1为b, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O、O1分别为四边形ABCD、A1B1C1D1的中心, 、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形,O为菱形ABCD的中心,∠BAD= 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE＝AA1+xAB+yAD，则x、y的值分别为（在一个正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分在正方体ABCD-A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心．如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,O是底面A1B1C1D1的中心,那么已知边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1,O为底面A1B1C1D1的中心,E为棱A1B1上的一点,且AE+EO的长已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是边上为3的正方形,棱AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=600, 已知ABCD-A1B1C1D1是一个棱长为1的正方体,o1是底面A1B1C1D1的中心,M是BB1上的点, 3 在正方形ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,F为CC1的中点,求证：A1O⊥平面BDF. 在正方形ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,F为CC1的中点,求证：A1O⊥平面BDF