交错级数及其审敛法(含绝对收敛与条件收敛)三道题
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/20 05:37:07
交错级数及其审敛法(含绝对收敛与条件收敛)三道题
这个页面中包含了需要求解的三道题,分别为判定级数收敛性一道、证明绝对收敛两道.
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1、通项加绝对值,用比值法,U(n+1)/Un=2n(2n+1)/(2n+2)→+∞(n→∞),所以原级数发散
3、只需说明条件一可以推出结论即可,因为条件二、三都可以推出条件一.
an有界,则存在正数M,使得|an|≤M,所以|anbn|≤M×|bn|,∑|bn|收敛,由比较法,级数∑|anbn|收敛,级数∑anbn绝对收敛.
2、借用第三题,只要说明ntan(1/n)有界,∑a(2n)收敛.
ntan(1/n)的极限是1,所以有界.
∑an收敛,则部分和数列Sn单调增加有上界,而∑a(2n)的部分和数列Tn满足Tn≤S(2n),所以Tn也是单调增加有上界的,所以∑a(2n)收敛.
再问: 不好意思,第一个问题打错了,应该是这样的:级数的每一项分子为奇数连积,分母为偶数连积。
再答: 哦。那级数是条件收敛。设那个比值为Un。 把Un写成Un=1/2×3/4×5/6×...×(2n-1)/2n,根据(2n-2)/(2n-1)<(2n-1)/2n<2n/(2n+1),进行放大或缩小: Un^2=1/2×1/2×3/4×3/4×5/6×5/6×...×(2n-1)/2n×(2n-1)/2n<1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×6/7×...×(2n-1)/2n×2n/(2n+1)=1/(2n+1),所以Un<1/√(2n+1) Un^2=1/2×1/2×3/4×3/4×5/6×5/6×...×(2n-1)/2n×(2n-1)/2n>1/2×1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×...×(2n-2)/(2n-1)×(2n-1)/2n=1/(4n),所以Un>1/2×1/√n。(n≥2时) 由Un=12/×1/√n知道:通项加绝对值后,级数发散,即原级数不绝对收敛。 再用莱布尼兹法判断原级数收敛。0<Un<1/√(2n+1),所以Un的极限是0。U(n+1)/Un=(2n+1)/(2n+2)<1,所以{Un}单调减少。所以级数本身是收敛的。 综上,原级数条件收敛。
3、只需说明条件一可以推出结论即可,因为条件二、三都可以推出条件一.
an有界,则存在正数M,使得|an|≤M,所以|anbn|≤M×|bn|,∑|bn|收敛,由比较法,级数∑|anbn|收敛,级数∑anbn绝对收敛.
2、借用第三题,只要说明ntan(1/n)有界,∑a(2n)收敛.
ntan(1/n)的极限是1,所以有界.
∑an收敛,则部分和数列Sn单调增加有上界,而∑a(2n)的部分和数列Tn满足Tn≤S(2n),所以Tn也是单调增加有上界的,所以∑a(2n)收敛.
再问: 不好意思,第一个问题打错了,应该是这样的:级数的每一项分子为奇数连积,分母为偶数连积。
再答: 哦。那级数是条件收敛。设那个比值为Un。 把Un写成Un=1/2×3/4×5/6×...×(2n-1)/2n,根据(2n-2)/(2n-1)<(2n-1)/2n<2n/(2n+1),进行放大或缩小: Un^2=1/2×1/2×3/4×3/4×5/6×5/6×...×(2n-1)/2n×(2n-1)/2n<1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×6/7×...×(2n-1)/2n×2n/(2n+1)=1/(2n+1),所以Un<1/√(2n+1) Un^2=1/2×1/2×3/4×3/4×5/6×5/6×...×(2n-1)/2n×(2n-1)/2n>1/2×1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×...×(2n-2)/(2n-1)×(2n-1)/2n=1/(4n),所以Un>1/2×1/√n。(n≥2时) 由Un=12/×1/√n知道:通项加绝对值后,级数发散,即原级数不绝对收敛。 再用莱布尼兹法判断原级数收敛。0<Un<1/√(2n+1),所以Un的极限是0。U(n+1)/Un=(2n+1)/(2n+2)<1,所以{Un}单调减少。所以级数本身是收敛的。 综上,原级数条件收敛。