请帮助证明集合的对偶律,
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/11 03:58:40
请帮助证明集合的对偶律,
A.B.C为任意三个集合,请帮助证明对偶律:(A∩B)^c = A^c∪B^c
第二个我明白您说的理论了,那么请问下面这个证明题应该怎样来证明呢?
设映射f:X→Y,集合A属于集合X,集合B也属于X,证明:
f(A∪B)=f(A)∪f(B)
也谢谢quwozx对这两个问题的解答,第一个我明白了,但第二个还是不大明白,能不能再给我讲讲,
A.B.C为任意三个集合,请帮助证明对偶律:(A∩B)^c = A^c∪B^c
第二个我明白您说的理论了,那么请问下面这个证明题应该怎样来证明呢?
设映射f:X→Y,集合A属于集合X,集合B也属于X,证明:
f(A∪B)=f(A)∪f(B)
也谢谢quwozx对这两个问题的解答,第一个我明白了,但第二个还是不大明白,能不能再给我讲讲,
文氏图可以用来帮助分析题意,理清思路来;但将之作为证明过程.有缺乏严谨之嫌.下面我给出代数证明过程.
证明:A∩B<A
A∩B<B
∴(A∩B)^C>A^C
(A∩B)^C>B^C
∴(A∩B)^C>A^C∪B^C……※
同理可证,(A∪B)^C<A^C∩B^C
把A^C代入A,B^C代入B,从而有
(A^C∪B^C)^C<(A^C)^C∩(B^C)^C=A∩B
∴两边取补,得
A^C∪B^C>(A∩B)^C
即∴(A∩B)^C<A^C∪B^C
结合※式可得,:(A∩B)^C= A^C∪B^C
注意,以上的<,>分别表示集合的包含于和包含的关系.我的字符库里没有该数学符合,所以,用上述符合代替.
再证第二个问题,设映射f:X→Y,集合A属于集合X,集合B也属于X,求证:f(A∪B)=f(A)∪f(B)
证明:不妨设,对于任意x1∈A∪B,那么必然存在唯一一个y1=f(x1)∈f(A)∪f(B);
同理设对任意y2∈f(A)∪f(B),那么按照定义规则f可知,必然存在一个x2∈A或x2∈B,即x2∈A∪B.不然,f不是个映射,这与题目矛盾.
综上可知,从集合A∪B到f(A)∪f(B)是一个按照规则f的映射.(就是说把A∪B看作新的集合X,f(A)∪f(B)看作新的集合Y,从而有f(X)=Y)
所以f(A∪B)=f(A)∪f(B)
证明:A∩B<A
A∩B<B
∴(A∩B)^C>A^C
(A∩B)^C>B^C
∴(A∩B)^C>A^C∪B^C……※
同理可证,(A∪B)^C<A^C∩B^C
把A^C代入A,B^C代入B,从而有
(A^C∪B^C)^C<(A^C)^C∩(B^C)^C=A∩B
∴两边取补,得
A^C∪B^C>(A∩B)^C
即∴(A∩B)^C<A^C∪B^C
结合※式可得,:(A∩B)^C= A^C∪B^C
注意,以上的<,>分别表示集合的包含于和包含的关系.我的字符库里没有该数学符合,所以,用上述符合代替.
再证第二个问题,设映射f:X→Y,集合A属于集合X,集合B也属于X,求证:f(A∪B)=f(A)∪f(B)
证明:不妨设,对于任意x1∈A∪B,那么必然存在唯一一个y1=f(x1)∈f(A)∪f(B);
同理设对任意y2∈f(A)∪f(B),那么按照定义规则f可知,必然存在一个x2∈A或x2∈B,即x2∈A∪B.不然,f不是个映射,这与题目矛盾.
综上可知,从集合A∪B到f(A)∪f(B)是一个按照规则f的映射.(就是说把A∪B看作新的集合X,f(A)∪f(B)看作新的集合Y,从而有f(X)=Y)
所以f(A∪B)=f(A)∪f(B)
证明集合的对偶律怎么证明
集合对偶率的证明,急,我会尽快采纳,现在急死了,
集合对偶性证明集合对偶性:Cu(A∩B)=CuA∪CuB.书上的证明如下—— 设x∈Cu(A∩B),则x不属于A ∩ B
集合、映射,证明题.设映射f:A—>B是可逆的,证明它的逆映射是唯一的.(帮忙请写规范严格的证明过程,否则没什么帮助的)
求集合对偶率证明,Cu(A∩B)=CuA∪CuB,求严格的逻辑证明,不要文恩图或者列举法.
数学证明对偶定率A,B是两个任意集合,证明对偶率:(A∩B)c=Ac∪Bc.再用文字描述下,证A交B的余集等于A的余集并
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设A.B是两个任意的集合,证明对偶率(A∩B)с=Aс∪Bс,c是补集的意思
写爱的对偶句求大神帮助
对偶和对比的区别,请举例
请帮助证明结论是否成立
阅读陋室铭和爱莲说,请把自己的理解、体会用一组对偶句表达出来(不少于五言)求大神帮助