高中不等式中a方+b方>=2ab和a+b>=2根号ab有什么不同,为什么要有一正,二定,三相等的条件才能用这个公式?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/27 22:23:18
高中不等式中a方+b方>=2ab和a+b>=2根号ab有什么不同,为什么要有一正,二定,三相等的条件才能用这个公式?
不同:a²+b²≥2ab 对一切实数a,b都成立;
而a+b≥2√(ab) 则要求a,b是非负实数,在使用时,a,b通常是正数.
(注:√(ab)表示根号下ab)
上述两个不等式取“=”时的充要条件都是a=b,这在利用基本不等式求最值时是十分重要的.
先看一个例子:
例1.求f(x)=x+9/x (x>0)的最小值,并求取得最小值时的x值.
∵x>0,∴f(x)=x+9/x ≥2√(x•9/x)=6,
当且仅当 x=9/x (即x=3)时,上式取“=”号,
∴当x=3时,f(x)=x+9/x的最小值为6.
分析:
(1)若将题中条件“x>0”改为“x≠0”,就不能使用不等式 x+9/x ≥2√(x•9/x) (因为x+9/x有可能是负的);
(2)上述解法正确还依赖于两个重要条件:其一,x•9/x=9是常数(定值),从而保证求出f(x)的最小值是一个确定的数(常数6);其二,x=9/x (即x=3)能够成立,从而保证使用不等式时“=”能够成立,进而确保了函数能够取到最值.这在利用基本不等式求最值时是十分重要的.
下面的例子就不能直接使用基本不等式来求最值:
例2.求f(x)=x+2 + 1/(x+2) 当x≥0时的最小值
∵x+2 + 1/(x+2) ≥2√[(x+2)•1/(x+2) ]=2
∴ f(x)=x+2 + 1/(x+2)的最小值为2.
分析:这显然是错误的,:∵x≥0,∴x+2 ≥2,而1/(x+2)≤1/2,二者不可能相等,
从而不等式 x+2 + 1/(x+2) ≥2√[(x+2)•1/(x+2) ] 不能取等号,
所以 f(x)>2而不能等于2.
这个解法的错误实质就是违背了“三要素”中的“三相等”.
注:此题f(x)的最小值为5/2,可用导数知识去解.
而a+b≥2√(ab) 则要求a,b是非负实数,在使用时,a,b通常是正数.
(注:√(ab)表示根号下ab)
上述两个不等式取“=”时的充要条件都是a=b,这在利用基本不等式求最值时是十分重要的.
先看一个例子:
例1.求f(x)=x+9/x (x>0)的最小值,并求取得最小值时的x值.
∵x>0,∴f(x)=x+9/x ≥2√(x•9/x)=6,
当且仅当 x=9/x (即x=3)时,上式取“=”号,
∴当x=3时,f(x)=x+9/x的最小值为6.
分析:
(1)若将题中条件“x>0”改为“x≠0”,就不能使用不等式 x+9/x ≥2√(x•9/x) (因为x+9/x有可能是负的);
(2)上述解法正确还依赖于两个重要条件:其一,x•9/x=9是常数(定值),从而保证求出f(x)的最小值是一个确定的数(常数6);其二,x=9/x (即x=3)能够成立,从而保证使用不等式时“=”能够成立,进而确保了函数能够取到最值.这在利用基本不等式求最值时是十分重要的.
下面的例子就不能直接使用基本不等式来求最值:
例2.求f(x)=x+2 + 1/(x+2) 当x≥0时的最小值
∵x+2 + 1/(x+2) ≥2√[(x+2)•1/(x+2) ]=2
∴ f(x)=x+2 + 1/(x+2)的最小值为2.
分析:这显然是错误的,:∵x≥0,∴x+2 ≥2,而1/(x+2)≤1/2,二者不可能相等,
从而不等式 x+2 + 1/(x+2) ≥2√[(x+2)•1/(x+2) ] 不能取等号,
所以 f(x)>2而不能等于2.
这个解法的错误实质就是违背了“三要素”中的“三相等”.
注:此题f(x)的最小值为5/2,可用导数知识去解.
根号a+b-3+根号ab+4=0,则根号a方-2ab+b方的值为?
5a方-2ab-2b方-[4a方-2ab+b方]=?
(a-2b)(a+2b)+ab的三次方除以(-ab),其中a=根号二,b=负根号三
(a+b)=a+b (a+b)的二次方=a方+2ab+b方 (a+b)的三次方=a的三次方+3a方b+3ab方+b的三次
已知b分之a=2,求a方+b方分之a方-ab+b方的值
多项式a方-2ab+b方,a方-b方,a方b-ab方的公因式
“完全平方差公式” 这个说法正确吗?有老师将两数差的完全平方公式:(a-b)平方=a方-2ab+b
已知a.b为实数,且a=根号2b-14+根号7-b,求根号a方-2ab+b方的值
已知a+2b=0求a方+2ab-b方/2a方+ab+b方
完全平方公式中(a-b)的二次方=a的平方-2ab+b的平方,最后为什么要加上b的平方
已知A-B=2+根号3,B-C=2-根号3,求2倍的A方加B方加C方-AB-BC-CA
已知a-b=2+根号下3,b-c=2-根号下3,求2(a方+b方+c方-ab-bc-ac)的值。