是否存在a.b.c,使等式1²+3²+5²+.+(2n-1)²=an^3+bn&

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 10:05:09

是否存在a.b.c,使等式1²+3²+5²+.+(2n-1)²=an^3+bn²+cn对任意正整数n都成立

可以的,这个要用到公式：
1²+2²+3²+.+n²=n(n-1)(2n-1)/6
∴1²+3²+5²+.+(2n-1)²
=[1²+2²+3²+.+(2n)²]-[2²+4²+6²+.+(2n-2)²]
=2n(2n-1)(4n-1)/6-4(1²+2²+3²+.+n²)
=2n(2n-1)(4n-1)/6-4n(n-1)(2n-1)/6
=n(4n²-1)/3
=4n³/3-n/3
因此a=4/3,b=0,c=-1/3.
如仍有疑惑,欢迎追问.
再问：我才刚到高一。。。这公式太高端了。。。还没学的好像
再答：做这道题自然是需要一定的课外积累了。如果直接做，可以考虑的就是归纳法了，但是从最终答案来看，4n³/3-n/3实在是不容易猜想出来。但是1²+3²+5²+....+(2n-1)² =[1²+2²+3²+....+(2n)²]-[2²+4²+6²+....+(2n-2)²] =[1²+2²+3²+....+(2n)²]-4(1²+2²+3²+....+n²) 这一步变形应该还是可以看得出的。所以用归纳求解1²+2²+3²+....+n²=n(n-1)(2n-1)/6是一条比较合理的路线。如果你实在不知道这个公式，只能实验一堆n的值，然后去猜4n³/3-n/3，很困难。这道题考的就是积累。

是否存在常数a,b,c,使等式1^2+3^2……(2n-1)^2=an(bn^2+c)/3 是否存在常数a、b、c,使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)=an^4+bn 是否存在常数a、b、c,使等式1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=n*(an^2+bn+c)/3对任是否存在常数a,b,c,使等式1*2^2+2*3^2+.+n（n+1）^2=（（n+n^2）/12）（bn+c+an^2 是否存在常数a,b,c,是等式1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=an/3(bn^2+c)对任意正整数n都是否存在常数abc,使得等式1*2^2+2*3^2+.+n(n+1)^n=n(n+1)(an^2+bn+c)/12成立? 数列{an}满足an=n(n+1)^2,是否存在等差数列{bn}使an=1*b1+2*b2+3*b3+...n*bn,对是否存在常数A,B,C,使等式1*2的平方加2*3的平方一直加到N*（N加1）的平方= yi ge 是否存在常数a,b使等式1^2/(1*3)+2^2/(3*5)+.+n^2/(2n-1)*(2n+1)=(a 是否存在常数a,b,c,使得等式1.2平方+2.3平方+3.4平方+…+n（n+1）平方=n(n+1)/12(an平方+ 是否存在常数a、b,使得等式：1^2/1*3+2^2/3*5+...+n^2/（2n-1）（2n+1）=（an^2+n）已知数列{an}的前n项和为sn=3n^2+5n,数列{bn}中,b1=8,64【b（n+1）】-bn=0,且存在常数c