在Rt△ABC中,∠C=90,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC AB分别交与点D、E,且∠CBD=∠A

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/28 05:05:22

在Rt△ABC中,∠C=90,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC AB分别交与点D、E,且∠CBD=∠A
(1)判断直线BD与圆O的位置关系,并说明理由
（2）若AD；AO=8:5,BC=8,求BD、AO的长
（3）在（2）的条件下,P是射线BA上的一动点,以P为圆心的圆既与直线BD相切,也与圆O相切时,求BP的长

(1)证明：连OD,DE
因为AE是圆O的直径,∴∠ADE=90°=∠C
∴DE∥BC  ∴∠EDB=∠CBD=∠A
OD=OE   ∴∠ODE=∠OED
因为∠A+∠OED=90°
∴∠EDB+∠ODE=90°   即OD⊥BD
∴BD是圆O的切线.
(2)因为AD/AO=8/5⇒AD/AE=AD/2AO=8/2×5=8/10
可知BC/AC/AB=6/8/10(勾股数)
因为BC=8   ∴8/AB=6/10⇒AB=40/3
因为∠BDE=∠BAD   ∠DBE=∠ABD
∴△DBE∼△ABD  ∴BD/AB=DE/AD=6/8
∴BD=40/3×6/8=10
因为(BD^2)=BE•BA  100=BE•40/3⇒BE=15/2
∴AO=[(40/3)-(15/2)]/2=35/12
(3)设圆P的半径为R
分二种情形：当P在BA上时：
R/PB=OD/OB=(35/12)/[(40/3)-(35/12)]=7/25
∴R=7PB/25  又AB=PB+R+AE
∴40/3=PB+(7PB/25)+(35/12)×2
∴PB=375/64≈5.86
当P'在BA延长线上时,
R=7P'B/25
P'B=AB+R=(40/3)+(7P'B/25)
∴P'B=500/27≈18.52