二阶常系数非齐次线性微分方程的求解

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/29 22:41:56

二阶常系数非齐次线性微分方程的求解
我问的是对应齐次线性微分方程有共轭复根的情况.
比如说求解y"+y=4sinx
对应齐次方程的特征根r1=i,r2=-i；通解Y=C1cosx+C2sinx；
为什么要先解方程y"+y=4[e^(ix)]
具体这种情形求解的原理是什么?

1.对于这种类型的二阶非齐次微分方程,求解的方法：
（1）先求出对应的齐次微分方程的通Y
（2）再求出该方程的一个特Y1
则方程的通解为：Y+Y1
2.方程特解的求法：
形如y''+py'+qy=Acosωx+Bsinωx 的方程,有如下形式的特y1=x^k(acosωx+bsinωx)
其中 a、b为待定系数,k的取值方法如下：
（1）当±iω不是方程y''+py'+qy=Acosωx+Bsinωx对应的齐次方程的特征根时,k=0
（2）当±iω是方程y''+py'+qy=Acosωx+Bsinωx对应的齐次方程的特征根时,k=1
再问： a,b的值如何确定？
再答：将特解代入原方程，比较方程两边同类项的系数，就可以解出 a b的值。

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