斐波那契数列的通项公式证明过程?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/10 04:54:22
斐波那契数列的通项公式证明过程?
如题所述。
如题所述。
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解题思路: 前半部分“待定系数法求p、q的值”【两解】,构造两个等比数列{a(n+1)-pan},求出两个通项公式后,解方程组得到an.
解题过程:
斐波那契数列:
,求
.
解:构造
, ……………………………………(&)
即
,
与已知条件
对照,得
,
∴ p、q是方程
的两个根, 解得
或
,
将
代回(&)式,得
,
可知,数列
是公比为
的等比数列,
且 其首项为
,
∴
, …………………… ①
同理, 由
,
可知,数列
是公比为
、首项为
的等比数列,
∴
, ………………… ②
②-①,得
,
解得
, 这就是斐波那契数列的通项公式.
解题过程:
斐波那契数列:
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/18/518b762e7e317f22dc626cc722598ec0.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/c1/5c10d098ce3e4625884079c92719e9be.gif)
解:构造
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/68/26842182b81e9146f427ca0c4913f181.gif)
即
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/8f/78f6f3a75515b661ae3eb6d3df90fb52.gif)
与已知条件
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/63/063491443fd2d528b9f93e83884ee4ab.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/45/d45c33e64898f2e25ef24ee98c20248b.gif)
∴ p、q是方程
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/08/7086aa12bd5e818af7ed30a86ad9e0b4.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/70/f70ef968e78f473ec0a4a4d2ef53d162.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/8f/28fc07b7852b88bb8ac3290310b26c0b.gif)
将
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/9f/89f3d7e3791c949e6ee0f78bd488041d.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/79/87901367c9719fdf066e06cbfe1faae6.gif)
可知,数列
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/e0/be05e0eac3b7430e78671e39d0642220.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/37/d379e308558cfca8a91926751ee8337c.gif)
且 其首项为
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/42/f42677cf352fcb15d27ffbbc0b504537.gif)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/12/f125a020c0160777666bb55aad6d3a41.gif)
同理, 由
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/06/906c88b931dde787bdd14bdf655d618f.gif)
可知,数列
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/a3/9a3bf36fc77d9652ea8731137765b72f.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/a7/aa76b4f47f71aa530ec8c27d0d2cc716.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/58/b5879b430abea9835811b2b1b03247d0.gif)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/18/618344abba593b606fc1d4af3ea938fb.gif)
②-①,得
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/02/202833c96d141bfc7d7c980571f6c4e0.gif)
解得
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/25/f259f2f28470b5f84dc54edca1b7f7ce.gif)