用詹森不等式证明一个不等式成立
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/21 07:11:57
用詹森不等式证明一个不等式成立
设ai > 0(i = 1,2,...,n)
证明:
n / (1/a1 + 1 / a2 + ...+ 1 / an)
设ai > 0(i = 1,2,...,n)
证明:
n / (1/a1 + 1 / a2 + ...+ 1 / an)
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当ai全相等时,n / (1/a1 + 1 / a2 + ... + 1 / an) = (a1*a2*...*an)^(1/n) = (a1+a2+...+an) / n
当ai不全相等时,考虑f(x)=lnx,则f`(x)=1/x>0,f``(x)=-1/x^20),则f(x)严格递增且严格上凸.
由严格上凸,则有杰森不等式:
f((x1+x2+...+xn)/n)>=(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
即ln((x1+x2+...+xn)/n)>=(lnx1+...+lnxn)/n=ln(x1x2...xn)^(1/n)
又由f(x)严格递增知(x1+x2+...+xn)/n>(x1x2...xn)^(1/n)
综合知(x1+x2+...+xn)/n>=(x1x2...xn)^(1/n)
由ai>0,则1/ai>0
令xi=ai,则(a1*a2*...*an)^(1/n)
当ai不全相等时,考虑f(x)=lnx,则f`(x)=1/x>0,f``(x)=-1/x^20),则f(x)严格递增且严格上凸.
由严格上凸,则有杰森不等式:
f((x1+x2+...+xn)/n)>=(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
即ln((x1+x2+...+xn)/n)>=(lnx1+...+lnxn)/n=ln(x1x2...xn)^(1/n)
又由f(x)严格递增知(x1+x2+...+xn)/n>(x1x2...xn)^(1/n)
综合知(x1+x2+...+xn)/n>=(x1x2...xn)^(1/n)
由ai>0,则1/ai>0
令xi=ai,则(a1*a2*...*an)^(1/n)