导数解决不等式

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/12 22:03:39

解题思路：导数。
解题过程：
解：（1）由f（x）=e^x-ax得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=0得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e^lⁿ²-2ln2=2-ln4．
f（x）无极大值．
（2）令g（x）=e^x-x²，则g′（x）=e^x-2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^lⁿ²-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x²＜e^x；
（3）对任意给定的正数c，总存在x₀= 1 c ＞0．当x∈（x₀，+∞）时，
由（2）得e^x＞x²＞ 1 c x，即x²＜ce^x． ∴对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞）时，恒有x²＜ce^x．

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