a+b+c与ab+bc+ca同为整数,且abc=1,证明:|a|=|b|=|c|=1
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/03 02:19:30
a+b+c与ab+bc+ca同为整数,且abc=1,证明:|a|=|b|=|c|=1
同上
同上
a+b+c与ab+bc+ca同为整数,且abc=1,证明:|a|=|b|=|c|=1
该题假设a,b,c为有理数才行,否则结论不成立,看下面例子:
设a=1-√2,b=1+√2,c=-1,则
a+b+c=1, ab+bc+ca=-1-1-√2-1+√2=-3,且abc=1,满足题中条件,但|a|=|b|=|c|=1不成立,故题改为:
a,b,c为有理数,a+b+c与ab+bc+ca同为整数,且abc=1,证明:|a|=|b|=|c|=1
证明由a+b+c与ab+bc+ca为整数,设ab+bc+ca=n,a+b+c=m,则m与n为整数,对ab+bc+ca=n两边同乘c得
abc+c^2(a+b)=nc
由abc=1, a+b+c=m得1+c^2(m-c)=nc
c为有理数,可设c=p/q,其中p,q互素,则代入上式得
1+(p/q )^2(m-(p/q ))=n(p/q )
q^3+p^2(mq-p )-npq^2=0
p能整除上式左边后两项,故必能整除第一项,由p,q互素可知p=1或p=-1,如果p=1则由上式得
q^3+mq-1-nq^2=0
q能整除上式左边中的项q^3,mq,nq^2,故必能整除1,故q=1或q=-1,此时c=±1,同理p=-1时,也可证明c=±1,即|c|=1.
由于条件对a,b,c对称,因此也得|a|=|b|=1.
该题假设a,b,c为有理数才行,否则结论不成立,看下面例子:
设a=1-√2,b=1+√2,c=-1,则
a+b+c=1, ab+bc+ca=-1-1-√2-1+√2=-3,且abc=1,满足题中条件,但|a|=|b|=|c|=1不成立,故题改为:
a,b,c为有理数,a+b+c与ab+bc+ca同为整数,且abc=1,证明:|a|=|b|=|c|=1
证明由a+b+c与ab+bc+ca为整数,设ab+bc+ca=n,a+b+c=m,则m与n为整数,对ab+bc+ca=n两边同乘c得
abc+c^2(a+b)=nc
由abc=1, a+b+c=m得1+c^2(m-c)=nc
c为有理数,可设c=p/q,其中p,q互素,则代入上式得
1+(p/q )^2(m-(p/q ))=n(p/q )
q^3+p^2(mq-p )-npq^2=0
p能整除上式左边后两项,故必能整除第一项,由p,q互素可知p=1或p=-1,如果p=1则由上式得
q^3+mq-1-nq^2=0
q能整除上式左边中的项q^3,mq,nq^2,故必能整除1,故q=1或q=-1,此时c=±1,同理p=-1时,也可证明c=±1,即|c|=1.
由于条件对a,b,c对称,因此也得|a|=|b|=1.
如何证明(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)
因式分解abc+ab+bc+ca+a+b+c+1=
已知abc=1,证明(a/ab+a+1)+(b/bc+b+1)+(c/ca+c+1)=1
若a,b,c为三角形ABC的三边,且a平方+b平方+c平方=ab+bc+ca,如何证明三角形ABC是等边三角形.
已知a,b,c为正实数,且ab+bc+ca=1(1)求a+b+c-abc的最小值(2)证明:a^2/(a^2+1)+b^
已知a,b,c为实数,且ab/a+b=1/3,bc/b+c=1/4,ca/c+a=1/5.求abc/ab+bc+ca的值
已知a,b,c为实数,且ab/a+b=1/4,bc/b+c=1/3,ca/c+a=1/2,求abc/ab+bc+ca的值
a,b,c均为实数,且a+b+c=1.求证(abc)/(bc+ca+ab)
在△ABC和△A'B'C'中,AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=1/2,且△ABC周长与与△A'B'C'的
已知a,b,c为正实数,且ab+bc+ca=1,证明1/(a^2+1)+1/(b^2+1)+1/(c^2+1)
在△ABC和△A'B'C'中,AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=1/2,且△ABC的周长与△A'B'C'的
设a b c均为正数,且a+b+c=1.证明ab+bc+ca小于等于1/3 求1