证明：不定方程x^2=y^5-4没有整数解

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/26 18:19:50

考虑mod 11的余数.
左端只可能为0, 1, 4, 9, 5, 3;
而右端只可能为7, 8, 6.
因此不存在整数x, y使等式成立.
再问：是试出来的吗？
再答：选择mod 11是有点理论线索的:
目标是选择一个质数p, 使y^5 mod p的可能较少.
根据Fermat小定理,
当(y,p) = 1时, 有y^(p-1) ≡ 1 (mod p).
所以如果p = 6是质数是最好的, 但可惜不是.
减弱为让p-1是5的倍数, 自然会考虑p = 11.
当(y,11) = 1, 有(y^5)^2 = y^10 ≡ 1 (mod 11),
可得y^5 ≡ 1或10 (mod 11),
再结合(y,11) = 11的情况即得y^5 ≡ 0, 1或10 (mod 11).

至于mod 11能够成功, 是有巧合的成分,
不过这大概是出题时就设计好的.

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