在平面直角坐标系xOy中,椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,上顶点(0,b)在直线x+y-1=
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/18 22:43:31
在平面直角坐标系xOy中,椭圆Γ:
x
(I)∵上顶点(0,b)在直线x+y-1=0上,∴b=1, 由e= c a=
a2−b2 a=
3 2得a2=4b2,即a=2, ∴椭圆Γ的方程为 x2 4+y2=1; (II) (i)存在实数t,使得k1=tk2. 设A(x1,y1)(x1y1≠0),C(x2,y2),则B(-x1,-y1) ∴直线AB的斜率kAB= y1 x1, ∵AB⊥AC,∴直线AC的斜率k=- x1 y1, 设直线AC的方程为y=kx+m,由题意知k≠0,m≠0, 由
y=kx+m x2+4y2=4得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, ∴x1+x2=- 8km 1+4k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m= 2m 1+4k2 由题意知x1≠-x2,∴k1= y1+y2 x1+x2=− 1 4k= y1 4x1, ∴直线BC的方程为y+y1= y1 4x1(x+x1),令y=0,得x=3x1,即P(3x1,0), ∴k2= 0−y1 3x1−x1=− y1 2x1∴k1=- 1 2k2即t=- 1 2, ∴存在常数t=- 1 2使得结论成立. (ii)直线BC的方程y+y1= y1 4x1(x+x1), 令x=0,得y=- 3 4y1, 即Q(0,- 3 4y1),由( i)知P(3x1,0), ∴△OPQ的面积为S= 1 2|OP|•|OQ|= 1 2×3|x1|× 3 4|y1|= 9 8|x1||y1| 由于|x1||y1|≤ x12 4+y12, 当且仅当 |x1| 2=|y1|=
2 2时等号成立,此时S取得最大值 9 8, ∴△OPQ面积的最大值为 9 8.
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