(2014•泉州一模)如图1所示的图板中,O是F1F2的中点,且|F1F2|=2.将一条长为4的细绳两端分别固定在F1,
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/28 10:45:47
(2014•泉州一模)如图1所示的图板中,O是F1F2的中点,且|F1F2|=2.将一条长为4的细绳两端分别固定在F1,F2处.套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,可画出一个如图2所示的椭圆轨迹г.
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/b1/6b1b5dfc3c2dfe04a105ed40fc2f992e.jpg)
(Ⅰ)试求出图2中椭圆г的一个标准方程;
(Ⅱ)若P为椭圆Γ上满足PF2⊥F1F2的点,那么是否存在与椭圆Γ交于两点A、B的直线l,使得四边形OPAB为平行四边形?若存在,请基于(Ⅰ)的解答求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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(Ⅰ)试求出图2中椭圆г的一个标准方程;
(Ⅱ)若P为椭圆Γ上满足PF2⊥F1F2的点,那么是否存在与椭圆Γ交于两点A、B的直线l,使得四边形OPAB为平行四边形?若存在,请基于(Ⅰ)的解答求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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(Ⅰ)如图,以线段F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的中点O为原点建立直角坐标系,
设椭圆Γ的标准方程为
x2
a2+
y2
b2=1(a>b>0),![](http://img.wesiedu.com/upload/e/77/e776905217da5ddf4134c9458bf08fc7.jpg)
依题意得2a=4,即a=2,
又|F1F2|=2,∴c=1,∴b2=4-1=3,
∴椭圆Γ的一个标准方程为:
x2
4+
y2
3=1.
(Ⅱ)∵P为椭圆Γ上满足PF1⊥F1F2的点,∴P(1,
3
2),kCP=
3
2,
假设存在满足题意的直线l,则这样的直线l必须同时满足下列条件:
①直线l与椭圆相交;②直线l∥OP;③|AB|=|OP|,
由②知直线l的斜率k=kCP=
3
2,
∴设直线l的方程为y=
3
2x+m,
将y=
3
2x+m代入椭圆Γ的方程,得x2+mx+
m2
3−1=0.
由①知△=4−
m2
3>0,得-2
3<m<2
3,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得:
x1+x2=−m,x1x2=
m2
3−1,
由③得|AB|=|OP|=
设椭圆Γ的标准方程为
x2
a2+
y2
b2=1(a>b>0),
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/77/e776905217da5ddf4134c9458bf08fc7.jpg)
依题意得2a=4,即a=2,
又|F1F2|=2,∴c=1,∴b2=4-1=3,
∴椭圆Γ的一个标准方程为:
x2
4+
y2
3=1.
(Ⅱ)∵P为椭圆Γ上满足PF1⊥F1F2的点,∴P(1,
3
2),kCP=
3
2,
假设存在满足题意的直线l,则这样的直线l必须同时满足下列条件:
①直线l与椭圆相交;②直线l∥OP;③|AB|=|OP|,
由②知直线l的斜率k=kCP=
3
2,
∴设直线l的方程为y=
3
2x+m,
将y=
3
2x+m代入椭圆Γ的方程,得x2+mx+
m2
3−1=0.
由①知△=4−
m2
3>0,得-2
3<m<2
3,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得:
x1+x2=−m,x1x2=
m2
3−1,
由③得|AB|=|OP|=
已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1F2,且F1F2=2,点(1,3/2)
椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,长轴的一个端点为Q,且|F1F2|:|F2Q|=|F1Q|:|F1F2|,又已
已知椭圆C的对称中心为坐标原点O,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1、F2,且|F1F2|=4,点(2,8根号5/5)在该
已知椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右焦点分别为F1F2,一条直线L经过F1与椭圆交于A,B两点.
已知双曲线x^2/9-y^2/16=1的左、右焦点分别是F1、F2,P为双曲线右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则
1、如右图所示,绳子的两端分别固定在A、B两点,在绳子中点挂一重物G,此时OA、OB绳的拉力分别为F1、F2,现将AO段
已知F1,F2分别为双曲线X2/A2-Y2/B2=1的左右焦点若在双曲线右支上有一点P,满足|PF2|=|F1F2|,且
已知双曲线X^2/9-Y^2/16=1的左右焦点分别为F1,F2 P为C右支上一点,且|PF2|=|F1F2|
椭圆焦点F1(-1,0)F2(1,0),P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项2 若点P
已知椭圆Cx^2/9+y^2/8=1的左右两个焦点分别为F1F2,过F1作一直线交椭圆C于AB两点
F1,F2 是离心率为根号2/2的椭圆C的左右焦点,直线x=-1/2将线段F1F2分成两段
已知双曲线C:x29−y216=1的左右焦点分别为F1,F2,P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1