搜搜考试网基本不等式解题时,除了求最值,什么时候要求左右一方为定值
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/09 01:05:36
基本不等式解题时,除了求最值,什么时候要求左右一方为定值
求最值问题,一定要求左右一方为定值,但看如下一题
a,b均为整数,且有ab-a-b=1 求a+b最小值
我的解法
:依题意:ab=a+b+1
a+b≥2√ab=2√(a+b+1)
当且仅当a=b是等号成立
故令t=a+b,则有
t≥2√(t+1)
得t^2≥4t+4
解得t≤2-2√2 或t≥2+2√2
∵t=a+b＞0
∴t≥2+2√2
当且仅当a=b=1+√2是等号成立
我去问老师,他也说这样的思路可以,但我忘了问这个问题---在这个解法中a+b不是定值,为什么也可以用到均值不等式?什么时候可以在两端都不是定值的时候用均值不等式?,要求左右一方为定值的本质意义在于哪里?
不要答非所问哦,不要替我想我要问什么哦,仔细看下问题
题目的"整数"改为"正数"打错了
求最值问题,一定要求左右一方为定值,但看如下一题
a,b均为整数,且有ab-a-b=1 求a+b最小值
我的解法
:依题意:ab=a+b+1
a+b≥2√ab=2√(a+b+1)
当且仅当a=b是等号成立
故令t=a+b,则有
t≥2√(t+1)
得t^2≥4t+4
解得t≤2-2√2 或t≥2+2√2
∵t=a+b＞0
∴t≥2+2√2
当且仅当a=b=1+√2是等号成立
我去问老师,他也说这样的思路可以,但我忘了问这个问题---在这个解法中a+b不是定值,为什么也可以用到均值不等式?什么时候可以在两端都不是定值的时候用均值不等式?,要求左右一方为定值的本质意义在于哪里?
不要答非所问哦,不要替我想我要问什么哦,仔细看下问题
题目的"整数"改为"正数"打错了
呵呵,这是个好问题!不过楼上的一些解答说得似乎太复杂了,很多又是答非所问……
其实从本质上说,对于一个不等式问题,可以随便用任何一个成立的不等式,连着用多次也没关系,只要保证不等号的方向总是对的就行.但是最值问题比不等式问题要求更强,它要求等号能够成立.所以用不等式解决最值问题时就两步(以求X的最小值为例)：1. 用不等式放缩,得到X≥a（注意,a是个已知的值,不能还是个函数,这就是“一方为定值“的含义,但个人认为这么说容易引起误解）.2. 说明X=a可以成立（这里常见的情况是X≥a是由若干不等式联合得到的,比如X≥Y≥Z≥a,这时为说明X=a可以成立,只要说明上面的每个不等式都能成立"="就行）.只要这两点都做到了,那方法一定是对的.下面用这个标准来看看你举的例子.
先看你问题中的这个例子.首先放缩得到t≥2+根号2,这肯定没问题.其次,你这里面用了两步放缩,第一个等号成立条件a=b, 第二个等号成立条件t=2+根号2. 当a=b=1+根号2/2时,两个不等式都成立等号.所以这个做法没有任何问题.
再看你在二楼追问的那个问题,错在我上面说的1.不满足.这个证明没有把x^2+4/x放缩到≥一个固定的值a. x^2+4/x≥4√x, 这个式子没错,但右边不是定值,通过此式得不出一个下界（”下界“这个概念顾名思义就好）.后面的推理也是没有道理的,就好比通过甲>乙,丙=丁,然后推出甲>丁一样荒谬.关键在于4√x不是定值,x不同时,4√x可以是上面的乙,也可以是上面的丁,用它作媒介推不出来甲和丙的大小.
总之,”一方为定值“这个说法有一定道理,不过容易引起误解.实际上放缩的过程可能是由多个不等式联合得到的,并不需要每一个不等式都有一方为定值（比如你问题中那个例子的t≥2√(t+1) 这一步,两边都不是定值）,但一定要求最后得到一个定值作为下界.我建议楼主用我上面说的1,2来理解,也包括那里括号中的内容.
P.S,"dantafiction"网友说的那个三角形全等判定的命题是对的.边边角情况下,如果那个角是钝角则的确可以判定全等.我看上面那些解答中也就dantafiction的切题且靠谱一些.不过我觉得他说的有些绝对,"一边为定值"这种类似于口诀的说法有一定道理,关键是要理解这句话的实质,而不仅仅是字面意思.很多错误或者教条都是由于只从字面理解某些口诀造成的.如果楼主理解了我上面说的两条,这种口诀不要也罢~~但愿我的解答对楼主有帮助:)
再问： 我理解您的意思了,先感谢您的细致清晰的分析解释 我还有一个小问题,从t≥2√(t+1)类推过来,如果错解那道题从x^2+4/x≥4√x开始,两边平方,在把未知数移到同一边,用某种计算方法还是可以求得x的最值的是吧?有了最值就有了"下界"了,这样可以么?虽然本题不必这么做.只是就地取例,我想从您的回答中确认一些信息,确认了这些就可以推广到所有情况了,所有问题也就明朗了,见谅,虽然接触不等式一年多了,但还是第一次这么较真儿
再答： 明白你的意思:-)你的学习精神真的很赞啊~思路也挺清楚~~确实应该这样推敲并举一反三！这个问题搞明白之后，相信你对“什么是数学中正确的逻辑推理”这个问题的认识就会深入一层。 那道题照你说得这么做恐怕是不行的。这样固然是得到了一个下界，满足了我说的1 ，但是不满足2. 因为要想达到这个下界，中间要有两个不等式都成立等号，在这个问题里做不到的。第一次x^2+4/x≥4√x这个式子要取"=", x就确定了，而你说的“用某种计算方法”还是会出一个不等式（类似原来那道题的t≥2+2√2这种式子），无法保证上面确定的x在这个不等式中还能够取到等号。 注意，你原来贴的那题两个等号却可以同时成立，因此是对的。为什么有这种差别呢？可以这样直观地理原来那道题有a,b两个量可变，有余地让两个等号同时成立，而你追问的那道题x只能取一个值，分身无术啊......除非凑巧（遗憾的是，从结果上看这次没中彩票）。 上面的想法虽然不够严谨，但对理解问题是很有帮助的！它能帮助你判断连续放缩什么时候是安全的，什么时候危险的。遇到新问题时，能用安全的放缩就要尽量避免危险的放缩。当然有时你看清楚了也不怕所谓的“危险”。简单的例子就是你举的求y=x^2+4/x最小值(x>0)这道题。最简单的方法是用三元均值不等式：y=x^2+2/x+2/x≥3[(x^2)*2/x*2/x]^(1/3)=3*4^(1/3). 等号成立条件x^2=2/x=2/x, 表面上看似乎有点危险：成立条件里有两个等号，但只有一个变元x. 不过显然后面那个等号是恒成立的，所以没问题，能取到下界。为什么要把4/x拆成两项，还非要拆成相等两项2/x+2/x呢？拆成两项正是为了我说的1，保证用均值不等式后能得到一个下界；拆成相等两项是为了我说的2，保证能取到x满足等号成立的条件。 最后，既然你对这个问题想得这么深入了，不妨提高一点。想想下面一个问题：不用导数，用三元均值不等式求x(1-x)(1+x)在[0,1]的最大值。提示一下，可以适当地配系数哦~至于怎么适当，不妨考虑待定系数法~~ P.S, 楼下的LePAc说的我看了，我觉得也对。他的意思和我说的差不多，只是换了个角度（不过要是你本来没理解透彻，也许看着反倒比较晕）。我还是那句话，只要你搞明白我说的那1,2两条就足以啦，其他的都是浮云:)
其实从本质上说,对于一个不等式问题,可以随便用任何一个成立的不等式,连着用多次也没关系,只要保证不等号的方向总是对的就行.但是最值问题比不等式问题要求更强,它要求等号能够成立.所以用不等式解决最值问题时就两步(以求X的最小值为例)：1. 用不等式放缩,得到X≥a（注意,a是个已知的值,不能还是个函数,这就是“一方为定值“的含义,但个人认为这么说容易引起误解）.2. 说明X=a可以成立（这里常见的情况是X≥a是由若干不等式联合得到的,比如X≥Y≥Z≥a,这时为说明X=a可以成立,只要说明上面的每个不等式都能成立"="就行）.只要这两点都做到了,那方法一定是对的.下面用这个标准来看看你举的例子.
先看你问题中的这个例子.首先放缩得到t≥2+根号2,这肯定没问题.其次,你这里面用了两步放缩,第一个等号成立条件a=b, 第二个等号成立条件t=2+根号2. 当a=b=1+根号2/2时,两个不等式都成立等号.所以这个做法没有任何问题.
再看你在二楼追问的那个问题,错在我上面说的1.不满足.这个证明没有把x^2+4/x放缩到≥一个固定的值a. x^2+4/x≥4√x, 这个式子没错,但右边不是定值,通过此式得不出一个下界（”下界“这个概念顾名思义就好）.后面的推理也是没有道理的,就好比通过甲>乙,丙=丁,然后推出甲>丁一样荒谬.关键在于4√x不是定值,x不同时,4√x可以是上面的乙,也可以是上面的丁,用它作媒介推不出来甲和丙的大小.
总之,”一方为定值“这个说法有一定道理,不过容易引起误解.实际上放缩的过程可能是由多个不等式联合得到的,并不需要每一个不等式都有一方为定值（比如你问题中那个例子的t≥2√(t+1) 这一步,两边都不是定值）,但一定要求最后得到一个定值作为下界.我建议楼主用我上面说的1,2来理解,也包括那里括号中的内容.
P.S,"dantafiction"网友说的那个三角形全等判定的命题是对的.边边角情况下,如果那个角是钝角则的确可以判定全等.我看上面那些解答中也就dantafiction的切题且靠谱一些.不过我觉得他说的有些绝对,"一边为定值"这种类似于口诀的说法有一定道理,关键是要理解这句话的实质,而不仅仅是字面意思.很多错误或者教条都是由于只从字面理解某些口诀造成的.如果楼主理解了我上面说的两条,这种口诀不要也罢~~但愿我的解答对楼主有帮助:)
再问： 我理解您的意思了,先感谢您的细致清晰的分析解释 我还有一个小问题,从t≥2√(t+1)类推过来,如果错解那道题从x^2+4/x≥4√x开始,两边平方,在把未知数移到同一边,用某种计算方法还是可以求得x的最值的是吧?有了最值就有了"下界"了,这样可以么?虽然本题不必这么做.只是就地取例,我想从您的回答中确认一些信息,确认了这些就可以推广到所有情况了,所有问题也就明朗了,见谅,虽然接触不等式一年多了,但还是第一次这么较真儿
再答： 明白你的意思:-)你的学习精神真的很赞啊~思路也挺清楚~~确实应该这样推敲并举一反三！这个问题搞明白之后，相信你对“什么是数学中正确的逻辑推理”这个问题的认识就会深入一层。 那道题照你说得这么做恐怕是不行的。这样固然是得到了一个下界，满足了我说的1 ，但是不满足2. 因为要想达到这个下界，中间要有两个不等式都成立等号，在这个问题里做不到的。第一次x^2+4/x≥4√x这个式子要取"=", x就确定了，而你说的“用某种计算方法”还是会出一个不等式（类似原来那道题的t≥2+2√2这种式子），无法保证上面确定的x在这个不等式中还能够取到等号。 注意，你原来贴的那题两个等号却可以同时成立，因此是对的。为什么有这种差别呢？可以这样直观地理原来那道题有a,b两个量可变，有余地让两个等号同时成立，而你追问的那道题x只能取一个值，分身无术啊......除非凑巧（遗憾的是，从结果上看这次没中彩票）。 上面的想法虽然不够严谨，但对理解问题是很有帮助的！它能帮助你判断连续放缩什么时候是安全的，什么时候危险的。遇到新问题时，能用安全的放缩就要尽量避免危险的放缩。当然有时你看清楚了也不怕所谓的“危险”。简单的例子就是你举的求y=x^2+4/x最小值(x>0)这道题。最简单的方法是用三元均值不等式：y=x^2+2/x+2/x≥3[(x^2)*2/x*2/x]^(1/3)=3*4^(1/3). 等号成立条件x^2=2/x=2/x, 表面上看似乎有点危险：成立条件里有两个等号，但只有一个变元x. 不过显然后面那个等号是恒成立的，所以没问题，能取到下界。为什么要把4/x拆成两项，还非要拆成相等两项2/x+2/x呢？拆成两项正是为了我说的1，保证用均值不等式后能得到一个下界；拆成相等两项是为了我说的2，保证能取到x满足等号成立的条件。 最后，既然你对这个问题想得这么深入了，不妨提高一点。想想下面一个问题：不用导数，用三元均值不等式求x(1-x)(1+x)在[0,1]的最大值。提示一下，可以适当地配系数哦~至于怎么适当，不妨考虑待定系数法~~ P.S, 楼下的LePAc说的我看了，我觉得也对。他的意思和我说的差不多，只是换了个角度（不过要是你本来没理解透彻，也许看着反倒比较晕）。我还是那句话，只要你搞明白我说的那1,2两条就足以啦，其他的都是浮云:)