搜搜考试网已知函数f(x)=mx/2+(m-2)/2x（m＞0）
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/16 17:42:39
已知函数f(x)=mx/2+(m-2)/2x（m＞0）
（1）若f(x)≥lnx+m-1在[1,+∞）上恒成立,求m的取值范围,
（2）2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n^3+3n^2-5n)/12 (n∈N+）
第（1）题已经做出来啦,只需要第（2）题.
当n=1时，左边=1 ln1=0，右边=（2+3-5）/12=0，原不等式成立。
假设当n=k (k∈N+）时，原不等式成立，
即2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12=k(k-1)(2k+5)/12 (k∈N+），
那么当n=k+1 (k∈N+）时，
即要证明2ln2+3ln3+……+klnk+(k+1)lnk ≤k(k+1)(2k+7)/12
=(2k³+9k²+7k)/12=(2k³+3k²-5k)/12+（6k²+12k）/12
=(2k³+3k²-5k)/12+（k²+2k）/2，
由2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12(k∈N+），
故只要证明(k+1) lnk≤（k²+2k）/2，
但是(k+1) lnk≤（k²+2k）/2怎么证明呢？
（1）若f(x)≥lnx+m-1在[1,+∞）上恒成立,求m的取值范围,
（2）2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n^3+3n^2-5n)/12 (n∈N+）
第（1）题已经做出来啦,只需要第（2）题.
当n=1时，左边=1 ln1=0，右边=（2+3-5）/12=0，原不等式成立。
假设当n=k (k∈N+）时，原不等式成立，
即2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12=k(k-1)(2k+5)/12 (k∈N+），
那么当n=k+1 (k∈N+）时，
即要证明2ln2+3ln3+……+klnk+(k+1)lnk ≤k(k+1)(2k+7)/12
=(2k³+9k²+7k)/12=(2k³+3k²-5k)/12+（6k²+12k）/12
=(2k³+3k²-5k)/12+（k²+2k）/2，
由2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12(k∈N+），
故只要证明(k+1) lnk≤（k²+2k）/2，
但是(k+1) lnk≤（k²+2k）/2怎么证明呢？
楼主你好,
你学过数学归纳法吗?
暗示条件 (n∈N+）
告诉我们用数学归纳法
数学字母再上面不好写的,
但知道用归纳法算,解题时很容易的
望采纳!
再问： （2）2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n³+3n²-5n)/12 (n∈N+） 这个如果用数学归纳法好像也做不了啊。 当n=k+1 (k∈N+）时， 故只要证明(k+1) ln(k+1)≤（k²+2k）/2， 但是(k+1) ln(k+1)≤（k²+2k）/2怎么证啊？
再答： 抱歉，昨天忘看了 (k+1) ln(k+1)≤（k²+2k）/2 移向，（k²+2k）/2-(k+1) ln(k+1)≥0 令Y=（k²+2k）/2-(k+1) ln(k+1) Y丿=In((e^k)/(k+1)) 在k≥2时，e^k＞k+1＞0（说的不严谨，想清楚的话就二次求导，证明e^k-（k+1）＞0恒成立） 也就是Y=……在k≥2单增 Y最小=Y（k=2)=In(（e^4)/27)＞0 ∴Y=……在k≥2时，Y＞0恒成立 即(k+1) ln(k+1)≤（k²+2k）/2
再问： Y丿什么意思啊？从下面开始看不懂啦？ Y丿=In((e^k)/(k+1)) 在k≥2时，e^k＞k+1＞0（说的不严谨，想清楚的话就二次求导，证明e^k-（k+1）＞0恒成立） 也就是Y=……在k≥2单增 Y最小=Y（k=2)=In(（e^4)/27)＞0 ∴Y=……在k≥2时，Y＞0恒成立 即(k+1) ln(k+1)≤（k²+2k）/2
再答： 忘了说了，你学过导数吗，这是Y的导数
你学过数学归纳法吗?
暗示条件 (n∈N+）
告诉我们用数学归纳法
数学字母再上面不好写的,
但知道用归纳法算,解题时很容易的
望采纳!
再问： （2）2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n³+3n²-5n)/12 (n∈N+） 这个如果用数学归纳法好像也做不了啊。 当n=k+1 (k∈N+）时， 故只要证明(k+1) ln(k+1)≤（k²+2k）/2， 但是(k+1) ln(k+1)≤（k²+2k）/2怎么证啊？
再答： 抱歉，昨天忘看了 (k+1) ln(k+1)≤（k²+2k）/2 移向，（k²+2k）/2-(k+1) ln(k+1)≥0 令Y=（k²+2k）/2-(k+1) ln(k+1) Y丿=In((e^k)/(k+1)) 在k≥2时，e^k＞k+1＞0（说的不严谨，想清楚的话就二次求导，证明e^k-（k+1）＞0恒成立） 也就是Y=……在k≥2单增 Y最小=Y（k=2)=In(（e^4)/27)＞0 ∴Y=……在k≥2时，Y＞0恒成立 即(k+1) ln(k+1)≤（k²+2k）/2
再问： Y丿什么意思啊？从下面开始看不懂啦？ Y丿=In((e^k)/(k+1)) 在k≥2时，e^k＞k+1＞0（说的不严谨，想清楚的话就二次求导，证明e^k-（k+1）＞0恒成立） 也就是Y=……在k≥2单增 Y最小=Y（k=2)=In(（e^4)/27)＞0 ∴Y=……在k≥2时，Y＞0恒成立 即(k+1) ln(k+1)≤（k²+2k）/2
再答： 忘了说了，你学过导数吗，这是Y的导数
已知函数f(x)=mx^2-mx+m
已知函数f(x)=-x^2+mx-m
】已知函数f(x)=log2（2为底）(mx²-2mx+8+m)
设函数f(x)=mx^2-mx-6+m,
已知函数f(x)=x^3+mx^2-m^2x+1(m为常数,且m>0有极大值9.（1）求m的值.
已知函数f(x)=mx^2-2x-1(m∈R),f(x)
已知函数f(x)=x^2+2mx+m^2-1/2m-3/2,x∈[0,+∞)求函数f(x)的最小值g(m)
已知函数f（x）=mx^2-(m+1)x+3
已知函数f(x)=1/3x^3+mx^2-3m^2x+1(m>0)
已知函数f(x)=1/3x^3+mx-3m^2x+1(m>0)
已知函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+(3m+6)x+1,其中m
已知函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+(3m+6)x+1,(m