求A/B的极限,x趋于0
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/30 18:40:19
求A/B的极限,x趋于0
A=ln(e^sinx+x^2)-sinx
B=(1+x^1/2)^1/2(x^x-1)
x^1/2为根号下x,根号打不出来,%>_
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A=ln(e^sinx+x^2)-sinx
B=(1+x^1/2)^1/2(x^x-1)
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![求A/B的极限,x趋于0](/uploads/image/z/17950634-26-4.jpg?t=%E6%B1%82A%2FB%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90%2Cx%E8%B6%8B%E4%BA%8E0)
当x趋于0时,(1+√x)^1/2 趋于1,所以此项可代换掉
lim(x→0) ln(x^x) = lim(x→0) xlnx = lim(x→0) lnx / (1/x)
= lim(x→0) (1/x) / (-1/x²) = lim(x→0) (-x) = 0
即 lim(x→0) x^x = e^0 = 1
然后对剩下的部分用洛必达法则
分子求导 A' = (cosx e^sinx + 2x ) / (e^sinx + x²) - cosx
= (2x - x²cosx) / (e^sinx + x²)
其中 e^sinx + x² 极限为1,可代换掉
分母 x^x - 1 求导得 x^x (lnx +1)
x^x 极限为1,可代换掉
∴原式 = lim(x→0) (2x - x²cosx) / (lnx +1) = 0
lim(x→0) ln(x^x) = lim(x→0) xlnx = lim(x→0) lnx / (1/x)
= lim(x→0) (1/x) / (-1/x²) = lim(x→0) (-x) = 0
即 lim(x→0) x^x = e^0 = 1
然后对剩下的部分用洛必达法则
分子求导 A' = (cosx e^sinx + 2x ) / (e^sinx + x²) - cosx
= (2x - x²cosx) / (e^sinx + x²)
其中 e^sinx + x² 极限为1,可代换掉
分母 x^x - 1 求导得 x^x (lnx +1)
x^x 极限为1,可代换掉
∴原式 = lim(x→0) (2x - x²cosx) / (lnx +1) = 0
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