设x,y,z为三个不全为零的实数,（xy+2yz)/(x^2+y^2+z^2)的最大值为多少

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/17 10:47:04

设x,y,z为三个不全为零的实数,（xy+2yz)/(x^2+y^2+z^2)的最大值为多少
三元函数的导数为为零,可以得到三个正确的方程（对过答案）,请高人指点一种高数的一般解法.（注：拉格朗日乘数法可在竞赛中应用广吗,请稍稍指点）.

这题当然可以求导解方程,不过本身有很简单的做法,注意到
分子分母都是2次齐次的,故如果令g(x,y,z)是分子,r(x,y,z)是分母
f=g/r的值满足f(kx,ky,kz)=f(x,y,z),所以可以限定在r=1上来求最值.
这样相当于限制r(x,y,z)=1,求g(x,y,z)的最值,就可以开动拉格朗日
机器了.
更简单地,注意到r=1是单位球面S,要让g在S上取最值,必须g的梯度
grad(g)和S垂直.而grad(g) = ( gx,gy,gz) = (y,x+2z,2y)
S在(x,y,z)的法向量就是(x,y,z)
故上述条件相当于
y/x = (x+2z)/y = 2y/z = 待定常数k
这就是 y=kx,z=2x,k*k=5
从而得到 f = k/2 = 2分之根号5
注意这做法和拉格朗日方法其实是一致的.

x,y,z是三个不全为0的实数,求（xy+2yz)/(x+y+z)的最大值若x,y,z,w是不全为零的实数,求xy+2yz+zw/x^2+y^2+z^2+w^2的最小值若x、y、z均为正实数,则（ xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)的最大值是多少? 设x,y,z,w是非零实数,求(xy+2yz+zw)/(x^2+y^2+z^2+w^2)的最大值. 设实数x,y,z满足x2+y2+z2-xy-yz-zx=27,则|y-z|的最大值为? 已知2X-3Y-Z=0,X+3Y-14Z=0,X,Y,Z不全为0,求【4X的平方-5XY+Z的平方】除以【XY+YZ+Z 已知2x-3y-z=0,x+3y-14z=0,且x,y,z不全为0,求4x的平方-5xy+z的平方/xy+yz+zx的值已知2x-3y-z=0.x+3y-14z=0,x,y,z不全为0.求xy+yz+xz分之 4x的平方-(5xy+z)的平 x ,y,z 为非零实数求（xy+2xy）/ （x平方+y平方+z平方）的最大值设正实数x,y,z满足x^2-3xy+4y^2-z=0,则xy/z取得最大值时,2/x+1/y+2/z的最大值为设正实数x,y,z满足x^2-3xy+4y^2-z=0,则z/xy取得最大值时,x+2y+-z的最大值为 (A)0 (B 已知x.y.z均为实数且满足x+y+z=4.求xy+yz+xz的最大值.