已知抛物线y²=2px的焦点为F 过F的直线与抛物线交与AB两点 A,B在抛物线准线上的射影为A1B1

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/29 19:19:35

已知抛物线y²=2px的焦点为F 过F的直线与抛物线交与AB两点 A,B在抛物线准线上的射影为A1B1
点M是A1B1的中点若AF=m BF=n 则MF=？

MF=√(mn),本题的解形式不唯一,因为mnp的取值互相制约,需满足(m-p)/m+(n-p)/n=0的条件,mnp里有1个数是多余的条件,p=2mn/(m+n).我只是给了一个比较简单的表达式.

抛物线焦点F(p/2,0),准线L为x=-p/2.

AA1=AF=m,BB1=BF=n,AB=m+n,AB'=m-n.
所以A1B1=BB'=√(AB²-AB'²)=√((m+n)²-(m-n)²)=2√(mn),故A1M=B1M=√(mn).

先说一个比较巧的几何学方法：

BM=√(MB1²+B1B²)=√(n²+mn),同理AM=√(m²+mn),

因为BM=√(n(n+m))=√(BF×AB),因此BM/BF=AB/BM,所以三角形FMB和三角形AMB相似.

所以MF=MB/AB×AM=√(n(n+m))/(n+m)×√(m(n+m))=√(mn).

我图画的不好,实际上MF和AB垂直,AM和MB垂直.

下面是另一个比较硬算的方法：

点N为AB中点,则FN=AF-AN=m-(m+n)/2=(m-n)/2.

M的y坐标=FNsin(FNM)=FNsin(BAB')=(m-n)/2×2√(mn)/(m+n)=(m-n)√(mn)/(m+n).

sin(BFO)=(FL-BB1)/FB=(p-n)/n,同理sin(AFx)=(AA1-FL)/FA=(m-p)/m,因为角度相等,得
(p-n)n+(p-m)/m=0,得p=2mn/(m+n).

所以由勾股定理,因为F到准线距离为p=2mn/(m+n)已知,则

MF=√(p²+mn(m-n)²/(m+n)²)=√(4m²n²/(m+n)²+mn(m-n)²/(m+n)²)=√((mn)(4mn+(m-n)²)/(m+n)²)
=√((mn)(m+n)²/(m+n)²)=√(mn).

过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于AB,AB在抛物线准线上的射影为A',B',求∠A'FB' 已知抛物线y^2=2px的焦点为F,过F得直线L与抛物线交与A,B两点求证以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切直线L过抛物线y方=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,A,B到准线的射影分别为A`和B`,A`B`的中设抛物线y平方=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线与A.B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行x轴,证已知抛物线y^2=2px的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点设已知A、B为抛物线y2=2px（p＞0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，给出下列命题：求直线方程已知抛物线C:y的平方=2PX过点A（1,-2）直线L过抛物线C的焦点F与抛物线C交于A,B两点,弦AB的长为过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（　　）已知：斜率为1的直线l过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点已知抛物线y^2=-4x的焦点为F,其准线与x轴交于点M,过M作斜率为K的直线l与抛物线交于A、B两点,弦AB的. F为抛物线y^2=2px的焦点,过点F的直线l与该抛物线交于A、B两点,l2、l2分别为是该抛物线在A、B两点处的切线已知抛物线C:y²=4x的准线与x轴交于m点,F为抛物线焦点,过点M斜率为k的直线l与抛物线交于点A.B两点