在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△A
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/08 08:07:40
在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为______.
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根据题意设P的坐标为(t,-t3+1),且0<t<1,
求导得:y′=-3x2,故切线的斜率k=y′|x=t=-3t2,
所以切线方程为:y-(-t3+1)=-3t2(x-t),
令x=0,解得:y=2t3+1;令y=0,解得:x=
2t3+1
3t2,
所以△AOB的面积S=
1
2(2t3+1)•
2t3+1
3t2=
1
6(2t2+
1
t) 2,
设y=2t2+
1
t=2t2+
1
2t+
1
2t≥3
32t2•
1
2t•
1
2t
,
当且仅当2t2=
1
2t,即t3=
1
4,即t=
3
1
4
取等号,
把t=
3
1
4
代入得:Smin=
3
32
4.
故答案为:
3
32
4
求导得:y′=-3x2,故切线的斜率k=y′|x=t=-3t2,
所以切线方程为:y-(-t3+1)=-3t2(x-t),
令x=0,解得:y=2t3+1;令y=0,解得:x=
2t3+1
3t2,
所以△AOB的面积S=
1
2(2t3+1)•
2t3+1
3t2=
1
6(2t2+
1
t) 2,
设y=2t2+
1
t=2t2+
1
2t+
1
2t≥3
32t2•
1
2t•
1
2t
,
当且仅当2t2=
1
2t,即t3=
1
4,即t=
3
1
4
取等号,
把t=
3
1
4
代入得:Smin=
3
32
4.
故答案为:
3
32
4
在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点
在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP,过点0作OP的垂线交抛
在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x的平方+2x+3与x轴交于A、B两点,点M在这条抛上,点P在y轴上,如果以P
在平面直角坐标系xOy中,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(1,1),与x轴交于点A,与y轴交于点B,且△
在平面直角坐标系中一次函数y=—1/2x+2的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点,在第一象限内是否存在点P,
在平面直角坐标系中一次函数y=—1/2x+2的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点,在第一象限内是否存在点P,使
如图,在平面直角坐标系xoy中,直线y=x+2与坐标轴交于A,B两点,点C在直线AB上,在坐标平面内是否存在另一点D,使
在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)任作一条与抛物线y=ax2(a>0)交于两点的直线
如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+n与x轴、y轴分别交于点A、B,与双曲线y=4x在第一象限内交于点C(1,
(2012•嘉兴)在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP,过
在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)任意作一条与抛物线y=ax2(a>0)交于两点的直线,设交点为A、B,则A、B
在平面直角坐标系xOy中,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(1,1),与x轴交于点A,与y轴交于点B,且