数列 收敛:证明从有限的数列中,永远可以选出收敛的子序列.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/20 02:59:26
数列 收敛:证明从有限的数列中,永远可以选出收敛的子序列.
![数列 收敛:证明从有限的数列中,永远可以选出收敛的子序列.](/uploads/image/z/18170023-31-3.jpg?t=%E6%95%B0%E5%88%97+%E6%94%B6%E6%95%9B%EF%BC%9A%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%BB%8E%E6%9C%89%E9%99%90%E7%9A%84%E6%95%B0%E5%88%97%E4%B8%AD%2C%E6%B0%B8%E8%BF%9C%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E9%80%89%E5%87%BA%E6%94%B6%E6%95%9B%E7%9A%84%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97.)
若数列有有限项,得证.
若数列有无穷项,设上界a,下界b
做二等分[a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b]
其中必有一含有xn中的无穷多项,设为[a1,b1]
在[a1,b1]中作二等分得到[a2,b2],如此类推下去得到
[a1,b1]包含[a2,b2]包含[a3,b3]包含...包含[an,bn]包含...
那么有lim [an,bn]=c
从[a1,b1]中选xp1,再在[a2,b2]中选xp2使得在xn中xp2在xp1后面.
这个xp2是选的到的.若xp1∈[a2,b2],此xp2存在.
若xp1∉[a2,b2],那么xp1后有无数多项,那么其中必有无数多项在[a2.b2]中.
按此法选出xp1,xp2,...,xpn...
|xpk-c|c
从而xpk收敛.
故从有限的数列中,永远可以选出收敛的子序列.
若数列有无穷项,设上界a,下界b
做二等分[a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b]
其中必有一含有xn中的无穷多项,设为[a1,b1]
在[a1,b1]中作二等分得到[a2,b2],如此类推下去得到
[a1,b1]包含[a2,b2]包含[a3,b3]包含...包含[an,bn]包含...
那么有lim [an,bn]=c
从[a1,b1]中选xp1,再在[a2,b2]中选xp2使得在xn中xp2在xp1后面.
这个xp2是选的到的.若xp1∈[a2,b2],此xp2存在.
若xp1∉[a2,b2],那么xp1后有无数多项,那么其中必有无数多项在[a2.b2]中.
按此法选出xp1,xp2,...,xpn...
|xpk-c|c
从而xpk收敛.
故从有限的数列中,永远可以选出收敛的子序列.