定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,如果存在非零常数λ(λ∈R,使得对任意的x∈R,都有f(x+λ)=λf(x
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/02 19:56:05
定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,如果存在非零常数λ(λ∈R,使得对任意的x∈R,都有f(x+λ)=λf(x),则称y=f(x)为“倍增函数”,λ为“倍增系数”,下列命题为真命题的是______(写出所有真命题对应的序号).
①若函数y=f(x)是倍增系数λ=-2的倍增函数,则y=f(x)至少有1个零点;
②函数f(x)=2x+1是倍增函数,且倍增系数λ=1;
③函数f(x)=
①若函数y=f(x)是倍增系数λ=-2的倍增函数,则y=f(x)至少有1个零点;
②函数f(x)=2x+1是倍增函数,且倍增系数λ=1;
③函数f(x)=
e | −x |
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∵函数y=f(x)是倍增系数λ=-2的倍增函数,
∴f(x-2)=-2f(x),
当x=0时,f(-2)+2f(0)=0,
若f(0),f(-2)任一个为0,函数f(x)有零点.
若f(0),f(-2)均不为零,则f(0),f(-2)异号,
由零点存在定理,在(-2,0)区间存在x0,f(x0)=0,
即y=f(x)至少有1个零点,故①正确;
∵f(x)=2x+1是倍增函数,
∴2(x+λ)+1=λ(2x+1),
∴λ=
2x+1
2x−1≠1,故②不正确;
∵f(x)=
e−x 是倍增函数,
∴e-(x+λ)=λe-x,
∴
1
ex•eλ=
λ
ex,
∴λ=
1
eλ∈(0,1),故③正确;
∵f(x)=sin(2ωx)(ω>0)是倍增函数,
∴sin[2ω(x+λ)]=λsin(2ωx),
∴ω=
kπ
2(k∈N*).故④正确.
故答案为:①③④.
∴f(x-2)=-2f(x),
当x=0时,f(-2)+2f(0)=0,
若f(0),f(-2)任一个为0,函数f(x)有零点.
若f(0),f(-2)均不为零,则f(0),f(-2)异号,
由零点存在定理,在(-2,0)区间存在x0,f(x0)=0,
即y=f(x)至少有1个零点,故①正确;
∵f(x)=2x+1是倍增函数,
∴2(x+λ)+1=λ(2x+1),
∴λ=
2x+1
2x−1≠1,故②不正确;
∵f(x)=
e−x 是倍增函数,
∴e-(x+λ)=λe-x,
∴
1
ex•eλ=
λ
ex,
∴λ=
1
eλ∈(0,1),故③正确;
∵f(x)=sin(2ωx)(ω>0)是倍增函数,
∴sin[2ω(x+λ)]=λsin(2ωx),
∴ω=
kπ
2(k∈N*).故④正确.
故答案为:①③④.
(2014•淄博三模)对于定义在R上的函数f(x)图象连续不断,若存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.
若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数
(2013•德州二模)若对于定义在R上的函数f(x),存在常数t(t∈R),使得f(x+t)+tf(x)=0对任意实数x
若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数x成立,则称f(x
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.(1)
定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),且f(0)≠0,判断f(x
已知y=f(x)是定义在R上的函数,且对任意x∈R,都有:f(x+2)=[1-f(x)]/[1+f(x)],又f(1)=
f(x)是定义在R上的函数,对任意的x∈R,都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2,设g(x)=f(
f(x)是定义在R上的函数,对任意的x∈R,都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2,设g(x)=f(
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有
已知定义在R上的函数f(x)满足条件:对任意的x,y都有f(x)+f(y)=1+f(x+y);对所有的非零实数x,都有f