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在△ABC中,猜想T=sinA+sinB+sinC的最大值,并证明.

来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/28 14:10:43
在△ABC中,猜想T=sinA+sinB+sinC的最大值,并证明.
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在△ABC中,猜想T=sinA+sinB+sinC的最大值,并证明.
∵sinA＋sinB＋sinC＝2sin［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］＋2sin（C/2）cos（C/2）
＝2sin［（180°－C）/2］cos［（A－B）/2］＋2sin（C/2）cos（C/2）
＝2sin（90°－C/2）cos［（A－B）/2］＋2sin［（180°－A－B）/2］cos（C/2）
＝2cos（C/2）cos［（A－B）/2］＋2sin［90°－（A＋B）/2］cos（C/2）
＝2cos（C/2）｛cos［（A－B）/2］＋cos［（A＋B）/2］｝
＝4cos（C/2）cos｛［（A－B）/2＋（A＋B）/2］/2｝cos｛［（A－B）/2＋（A＋B）/2］/2｝
＝4cos（C/2）cos（A/2）cos（B/2）
显然,cos（C/2）、cos（A/2）、cos（B/2）都是正数,
∴cos（C/2）cos（A/2）cos（B/2）
　≤｛［cos（C/2）］^3＋［cos（A/2）］^3＋［cos（C/2）］^3｝/3
当cos（C/2）＝cos（A/2）＝cos（B/2）时,cos（C/2）cos（A/2）cos（B/2）有最大值.
由cos（C/2）＝cos（A/2）＝cos（B/2）得：A＝B＝C＝60°,
∴此时｛［cos（C/2）］^3＋［cos（A/2）］^3＋［cos（C/2）］^3｝/3
＝（cos30°）^3＝（√3/2）^2＝3√3/8.
∴cos（C/2）cos（A/2）cos（B/2）的最大值是3√3/8.
得：4cos（C/2）cos（A/2）cos（B/2）的最大值是3√3/2.
即：sinA＋sinB＋sinC的最大值是3√3/2.
在三角形ABC中,猜想T=sinA+sinB+sinC的最大值,并证明之 sinA+sinB=2sin((A+B)/2) 在△ABC中,已知(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3,a 三角形ABC中 求sinA+sinB+sinC的最大值 三角函数不等式的证明：在三角形ABC中,证明：sinA+sinB+sinC 在△ABC中，a（sinB-sinC）+b（sinC-sinA）+c（sinA-sinB）的值是（　　） 在三角形ABC中,若(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=sinAsinB,求角C的度数 在△ABC中,已知sinA=sinB+sinC/cosB+cosC,判断三角形的形状? 在△ABC中,sinA：sinB：sinC=3:2:4则cosC的值为 在三角形ABC中证明(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2（1+cosAcosBcosC） △ABC中,证明:sin2A+sin2B+sin2C=4sinA*sinB*sinC 已知在三角形ABC中,sinA不等于sinB,且2sinB=sinA+sinC,求B的范围. △ABC中,若(sinA)平方=(sinB)平方+sinC(sinB+sinc) 则∠A=