搜搜考试网（2013•北京）阅读下面材料：
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/19 05:49:20
（2013•北京）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为______；
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为______；
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=
| ||
| 3 |
（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为
1
2a，
每个等腰直角三角形的面积为：
1
2a•
1
2a=
1
4a2，
则拼成的新正方形面积为：4×
1
4a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，
∴这个新正方形的边长为a；
（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4×
1
2×12=2；
（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=
1
2SF=
1
2a，
在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=
1
2a×
3
3=
3
6a，
∴S△RSF=
1
2a•
3
6a=
1
2a，
每个等腰直角三角形的面积为：
1
2a•
1
2a=
1
4a2，
则拼成的新正方形面积为：4×
1
4a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，
∴这个新正方形的边长为a；
（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4×
1
2×12=2；
（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=
1
2SF=
1
2a，
在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=
1
2a×
3
3=
3
6a，
∴S△RSF=
1
2a•
3
6a=