关于等边三角形的证明题
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 02:59:55
关于等边三角形的证明题
请写出步骤(最好是图片,有数学符号最好),有辅助线也最好画图.
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/43/743111c6a1beb3cd19c53612479980f3.jpg)
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![关于等边三角形的证明题](/uploads/image/z/18547146-18-6.jpg?t=%E5%85%B3%E4%BA%8E%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98)
发错了,这是拿破仑三角,证明如下,很长,准备好……
如图,分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长,向△ABC外作等边三角形(△BCC'、△ACA'、△ABB'),设这三个三角形的中心分别为D,E,F,
则:∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
以点A为圆心,以AF长为半径作弧;以点E为圆心,以DC长为半径作弧.设两弧在多边形AFBDCE内交于点G.则AG=AF,GE=DC.
连接GF、GA、GE,DE、DF、EF.
∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形(即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°)
∴△ABF∽△BCD∽△ACE,
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC,
又∵AG=AF,GE=DC,
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC,
∴△AGE∽△ABC,
∴∠GAE=∠BAC,
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°,
又∵AG=AF,
∴△AGF为等边三角形,
∴AG=AF,∠AGF=60°,
∵△AGE∽△ABC,
∴∠AGE=∠ABC,
又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°,
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°,
∴∠FBD=∠FGE,
∵在△FBD和△FGE中,
FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE,
∴△FBD≌△FGE(SAS),
∴FD=FE,
同理,FD=DE,
∵FD=DE=FE,
∴△DEF为等边三角形.
如图,分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长,向△ABC外作等边三角形(△BCC'、△ACA'、△ABB'),设这三个三角形的中心分别为D,E,F,
则:∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
以点A为圆心,以AF长为半径作弧;以点E为圆心,以DC长为半径作弧.设两弧在多边形AFBDCE内交于点G.则AG=AF,GE=DC.
连接GF、GA、GE,DE、DF、EF.
∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形(即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°)
∴△ABF∽△BCD∽△ACE,
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC,
又∵AG=AF,GE=DC,
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC,
∴△AGE∽△ABC,
∴∠GAE=∠BAC,
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°,
又∵AG=AF,
∴△AGF为等边三角形,
∴AG=AF,∠AGF=60°,
∵△AGE∽△ABC,
∴∠AGE=∠ABC,
又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°,
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°,
∴∠FBD=∠FGE,
∵在△FBD和△FGE中,
FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE,
∴△FBD≌△FGE(SAS),
∴FD=FE,
同理,FD=DE,
∵FD=DE=FE,
∴△DEF为等边三角形.