证明题,关于反三角函数及其导函数的,求证步骤完美的话有加分^.^
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/27 04:42:18
证明题,关于反三角函数及其导函数的,求证步骤完美的话有加分^.^
已知,f(x)=arctan(x)
函数满足,(x^2+1)*f'(x)=1
求证(x^2+1)f^(k+1)(x)+2kxf^(k)(x)+k(k-1)f^(k-1)(x)=0
k=1,2......k不等于0
已知,f(x)=arctan(x)
函数满足,(x^2+1)*f'(x)=1
求证(x^2+1)f^(k+1)(x)+2kxf^(k)(x)+k(k-1)f^(k-1)(x)=0
k=1,2......k不等于0
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用数学归纳法可证.
当n = 1时,对(x^2+1)*f'(x)=1求导,得
(x^2+1)*f"(x)+2x f'(x) = 0,
命题成立.
设n = k 时,命题成立,即
(x^2+1)f^(k+1)(x)+2kxf^(k)(x)+k(k-1)f^(k-1)(x) = 0,
则n = k+1 时,对上式再求一次导数,得
…………
(x^2+1)f^(k+2)(x)+2(k+1)xf^(k+1)(x)+(k+1)kf^(k)(x) = 0,
依归纳法原理,命题得证.
当n = 1时,对(x^2+1)*f'(x)=1求导,得
(x^2+1)*f"(x)+2x f'(x) = 0,
命题成立.
设n = k 时,命题成立,即
(x^2+1)f^(k+1)(x)+2kxf^(k)(x)+k(k-1)f^(k-1)(x) = 0,
则n = k+1 时,对上式再求一次导数,得
…………
(x^2+1)f^(k+2)(x)+2(k+1)xf^(k+1)(x)+(k+1)kf^(k)(x) = 0,
依归纳法原理,命题得证.