一道立体几何题.我想到一半想不出来了
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/20 16:49:46
一道立体几何题.我想到一半想不出来了
如图,正方形ABCD边长为a,s∉平面ABCD,且SA=SB=SC=SD=2a P,Q分别在BD,SC上 BP:PQ=1:2 PQ//平面SAD 求PQ的长
我添了辅助线 过Q作QF//DC交DC于F 过P作//DC//AB交AD于E 然后怎么证明四边形PEFQ为平行四边形?
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/3e/13e965c6ca73f49c0313b01c5db7a766.jpg)
如图,正方形ABCD边长为a,s∉平面ABCD,且SA=SB=SC=SD=2a P,Q分别在BD,SC上 BP:PQ=1:2 PQ//平面SAD 求PQ的长
我添了辅助线 过Q作QF//DC交DC于F 过P作//DC//AB交AD于E 然后怎么证明四边形PEFQ为平行四边形?
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/3e/13e965c6ca73f49c0313b01c5db7a766.jpg)
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你可能是忙中出错了!条件中的BP∶PQ=1∶2,应该是BP∶PD=1∶2.
若是这样,由方法如下:
过P作PE∥BA交AD于E,过Q作QF∥CD交SD于F.
∵ABCD是正方形,∴BA∥CD,又PE∥BA、QF∥CD,∴PE∥QF.
∵PE∥QF,∴P、Q、F、E共面,∴FE是平面SAD、平面PQFE的交线,而PQ∥平面SAD,
∴PQ∥EF,结合证得的PE∥QF,得:PQFE是平行四边形,∴EF=PQ、EP=QF.
∵BP∶PD=1∶2,∴PD=2BP,∴PD+2PD=2BP+2PD=2BD,∴PD/BD=2/3.
∵PE∥BA,∴△DEP∽△DAB,∴DE/AD=EP/AB=DP/BD=2/3,
∴DE=(2/3)AD=2a/3、EP=(2/3)AB=2a/3,∴QF=EP=2a/3.
∵QF∥CD,∴△SQF∽△SCD,∴SF/SD=QF/CD=(2a/3)/a=2/3,
∴SF=(2/3)SD=4a/3,∴DF=SD-SF=2a-4a/3=2a/3.
取AD的中点为M.
∵SA=SD、AM=DM,∴SM⊥DM,∴cos∠EDF=DM/SD=(a/2)/(2a)=1/4.
由余弦定理,有:
EF^2=DE^2+DF^2-2DE×DFcos∠EDF,
∴EF^2=4a^2/9+4a^2/9-2×(2a/3)×(2a/3)×(1/4),
∴EF^2=8a^2/9-2a^2/9=6a^2/9,
∴EF=√6a/3.
∴PQ=√6a/3.
注:若原题的条件不是我所猜测的那样,则请你补充说明.
若是这样,由方法如下:
过P作PE∥BA交AD于E,过Q作QF∥CD交SD于F.
∵ABCD是正方形,∴BA∥CD,又PE∥BA、QF∥CD,∴PE∥QF.
∵PE∥QF,∴P、Q、F、E共面,∴FE是平面SAD、平面PQFE的交线,而PQ∥平面SAD,
∴PQ∥EF,结合证得的PE∥QF,得:PQFE是平行四边形,∴EF=PQ、EP=QF.
∵BP∶PD=1∶2,∴PD=2BP,∴PD+2PD=2BP+2PD=2BD,∴PD/BD=2/3.
∵PE∥BA,∴△DEP∽△DAB,∴DE/AD=EP/AB=DP/BD=2/3,
∴DE=(2/3)AD=2a/3、EP=(2/3)AB=2a/3,∴QF=EP=2a/3.
∵QF∥CD,∴△SQF∽△SCD,∴SF/SD=QF/CD=(2a/3)/a=2/3,
∴SF=(2/3)SD=4a/3,∴DF=SD-SF=2a-4a/3=2a/3.
取AD的中点为M.
∵SA=SD、AM=DM,∴SM⊥DM,∴cos∠EDF=DM/SD=(a/2)/(2a)=1/4.
由余弦定理,有:
EF^2=DE^2+DF^2-2DE×DFcos∠EDF,
∴EF^2=4a^2/9+4a^2/9-2×(2a/3)×(2a/3)×(1/4),
∴EF^2=8a^2/9-2a^2/9=6a^2/9,
∴EF=√6a/3.
∴PQ=√6a/3.
注:若原题的条件不是我所猜测的那样,则请你补充说明.