搜搜考试网函数，范围
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/01 06:43:01
解题思路： 对恒等式进行“赋值”， 利用奇函数定义证明奇函数； 第三问利用单调性等于不等式进行等价转化。
解题过程：
设f(x)是定义在R上的函数，对任意x, y∈R，恒有f(x+y)＝f(x)+f(y)，
（1）求f(0)的值； （2）求证：f(x)为奇函数； （3）若f(x)是R上的增函数，已知f(1)＝1，且f(2a)＞f(a－1)＋2，求实数a的取值范围。 解：（1）在恒等式f(x+y)＝f(x)+f(y)中，取y＝0，得 f(x+0)＝f(x)+f(0)， 解得 f(0)＝0； (2) 在恒等式f(x+y)＝f(x)+f(y)中, 取y＝－x (x∈R), 得 f(0)＝f(x)+f(－x), 即 0＝f(x)＋f(－x)，得 f(－x)＝－f(x)， ∴ f(x)为奇函数； （3）由f(1)＝1， 得 f(2)＝f(1+1)＝f(1)+f(1)＝1+1＝2， ∵ f(x)是R上的增函数，且 f(x+y)＝f(x)+f(y)， ∴ 不等式f(2a)＞f(a－1)＋2， 等价于 f(2a)＞f(a－1)＋f(2)， 即 f(2a)＞f(a－1＋2)，即 f(2a)＞f(a+1)，等价于 2a＞a+1，得 a＞1, 故 实数a的取值范围是 {a | a＞1} .
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最终答案：略
解题过程：
设f(x)是定义在R上的函数，对任意x, y∈R，恒有f(x+y)＝f(x)+f(y)，
（1）求f(0)的值； （2）求证：f(x)为奇函数； （3）若f(x)是R上的增函数，已知f(1)＝1，且f(2a)＞f(a－1)＋2，求实数a的取值范围。 解：（1）在恒等式f(x+y)＝f(x)+f(y)中，取y＝0，得 f(x+0)＝f(x)+f(0)， 解得 f(0)＝0； (2) 在恒等式f(x+y)＝f(x)+f(y)中, 取y＝－x (x∈R), 得 f(0)＝f(x)+f(－x), 即 0＝f(x)＋f(－x)，得 f(－x)＝－f(x)， ∴ f(x)为奇函数； （3）由f(1)＝1， 得 f(2)＝f(1+1)＝f(1)+f(1)＝1+1＝2， ∵ f(x)是R上的增函数，且 f(x+y)＝f(x)+f(y)， ∴ 不等式f(2a)＞f(a－1)＋2， 等价于 f(2a)＞f(a－1)＋f(2)， 即 f(2a)＞f(a－1＋2)，即 f(2a)＞f(a+1)，等价于 2a＞a+1，得 a＞1, 故 实数a的取值范围是 {a | a＞1} .
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最终答案：略