设函数(fx)=x-(a/2)lnx,其中a∈R （1）函数f(x)的图像是否经过一个定点?求在定点处的切线方程.（2）

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/01 04:37:27

设函数(fx)=x-(a/2)lnx,其中a∈R （1）函数f(x)的图像是否经过一个定点?求在定点处的切线方程.（2）讨论f(x)的单调区间.（3）求证e^2(√派-√e)＞(派/e)^√e

/>要让函数经过一个定点,就是看有没有可能取出一对(x,y),使得a被消去了.可以看到,要使得a被消去,只能让lnx = 0.此时,x = 1,y = 1.即f一定过(1,1)这个点.

再看切线方程.先求个导：
f'(x) = 1 - a/(2x),
则f'(1) = 1 - a/2
所以切线方程是y - 1 = f'(1) (x - 1),你自己整理吧.

首先,f定义域在正数范围内.
那么,如果a ≤ 0,f'恒正,f单调增.
如果a > 0,可以看到f'有一个零点,在x = a/2处.所以f在(0,a/2)单调减,在后边单调增

我们肯定要充分利用这一题的函数结论.给要证的东西取个对数,相当于要证
2(√π - √e) > √e(lnπ - lne)
移项整理,有
√π - (1/2)√elnπ > √e - (1/2)√elne
√π - (2/2)√eln√π > √e - (2/2)√eln√e
就是要证明上式正确

现在是不是很像原函数啦?
令原函数a = 2√e,即f(x) = x - √elnx,那么现在就变成要证明f(√π) > f(√e)
看上一问证出的单调性,此时最小值点在x = a/2 = √e处,也就是f(√e)是整个函数最小值点,那么显然有f(√π) > f(√e)
证毕

其实这题给出了一种不等式证明思路.要是发现要证的不等式长得很像,可以先移项什么的化简成比较简单的形式（慎重进行乘除、平方操作,防止出现不合理结果以及不等号变号）.如果还证不出,可以改成函数进行分析,从单调性来证不等式.

1

再问：谢谢你厉害

已知函数fx=2lnx -x^2+ax,当a=2时,求f(x)的图像在x=1处的切线方程已知函数f(x)=2lnx-x^2+ax,a∈R.当a=2时,求函数f（x）的图像在x=1处的切线方程设函数fx=ax2+lnx,a=-1时,求函数y=fx的图像在点(1,f(1))处的切线方程 a 已知函数f(x)=lnx/x.(1) 求f(x)的图像在x=1/e处的切线方程 (2)设实数a大于0,求在[a,2a]上设函数fx=x-a/2lnx,其中a属于R 求fx的单调增区间已知函数 fx=2x×lnx-1 求函数fx的最小值及fx在点（1,f1）处的切线方程已知函数fx=x^2+bx+c的图像以y轴为对称轴,且经过点a（3,10）,求f(x)的表达式和fx的图像在a点处切线方已知函数F(X)=LNX+AX+1,A属于R （Ⅰ）求F（X）在X=1处的切线方程；已知函数f(x)=x^2lnx-a(x^2-1)a属于R.问当a=-1时,求曲线f(x)在点（1,f(1）)处的切线方程已知函数fx=ax+ln x (a∈R) 1.若a=2,求曲线y=fx在x=1处的切线方程已知函数f（x）=lnx+x^2+ax（a属于R）.（1）若函数y=f（x）图像在点p（1,f（x））处的切线与直线x+ 21.已知函数f(x)=x^2+a|lnx-1|,其中a＞0.（1）当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；