已知[e-(1+x)^1/x]/x当x趋于零时的极限是e/2,用什么方法计算出来的,能给出详细步骤吗
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/29 21:35:58
已知[e-(1+x)^1/x]/x当x趋于零时的极限是e/2,用什么方法计算出来的,能给出详细步骤吗
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先要会求(1+x)^(1/x)的导数
[(1+x)^(1/x)]'
=[e^((1/x)ln(1+x))]'
=e^((1/x)ln(1+x)) * (x/(1+x) - ln(1+x))/x²
=(1+x)^(1/x) * (x - (1+x)ln(1+x))/[x²(1+x)]
因此lim [e-(1+x)^(1/x)]/x
用洛必达法则
=lim -(1+x)^(1/x) * (x - (1+x)ln(1+x))/[x²(1+x)]
=lim -(1+x)^(1/x)*lim(1/(1+x)]*lim(x - (1+x)ln(1+x))/x²
前两个极限可直接算出来,第三个极限再用洛必达法则
=elim -[1-ln(1+x)-1]/(2x)
=elim ln(1+x)/(2x)
=e/2
希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢.
[(1+x)^(1/x)]'
=[e^((1/x)ln(1+x))]'
=e^((1/x)ln(1+x)) * (x/(1+x) - ln(1+x))/x²
=(1+x)^(1/x) * (x - (1+x)ln(1+x))/[x²(1+x)]
因此lim [e-(1+x)^(1/x)]/x
用洛必达法则
=lim -(1+x)^(1/x) * (x - (1+x)ln(1+x))/[x²(1+x)]
=lim -(1+x)^(1/x)*lim(1/(1+x)]*lim(x - (1+x)ln(1+x))/x²
前两个极限可直接算出来,第三个极限再用洛必达法则
=elim -[1-ln(1+x)-1]/(2x)
=elim ln(1+x)/(2x)
=e/2
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